【正文】 () 即為 。 ④ 無限長雙邊序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z1||z||z2|，即收斂域位于以 |z1|和 |z2|為半徑的兩個圓之間的環(huán)狀區(qū)域。 只有完全滿足相方程的點才在真正的根軌跡上 。因此，可將此四階閉環(huán)系統(tǒng)近似成閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )8)(6)(22()()()()(2 ???????ssssssFsYsΦjs ??? 12 63 ??s 84 ??s ??z22)(2 ???? sss的二階系統(tǒng)，使系統(tǒng)的分析計算簡化。 ， 無開環(huán)零點 ， 即 n = 3， m = 0， n – m = 3， 由于 ? 4. 廣義根軌跡 ? 1） 參數(shù)根軌跡 ? 按照開環(huán)增益 K或根軌跡增益 K*的變化繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡，而按照其它參數(shù)（時間常數(shù)、反饋系數(shù)等）的變化繪制的根軌跡則稱為參數(shù)根軌跡。 )( sY)( +ssK)( sF — 圖 某二階系統(tǒng) KssKsHsGsGs222)()(1)()(2 ??????022)( 2 ???? KsssDKs 21121 ????、0121212K =2K =2K = 0K = 0 K = K =1K =1?j???? j1??? j1[S ]圖 圖 ? 穩(wěn)定性： 當開環(huán)增益 K由零變化到無窮大時，根軌跡始終在 S平面的左半部 —— 此系統(tǒng)對所有 K 0 都是穩(wěn)定的。 解：由題 、 ，用時域微分性質(zhì)對系統(tǒng)微分方程取單邊拉氏變換，有 代入初值，整理得 )()(3)(6)(5)( tftftytyty ???????? )()( tetf t???1)0( ??y 2)0( ?? ?y)()(3)(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sFssFsYyssYysysYs ???????? ???)(65 1365 )0()0()5()( 22 sFss sss yyssY ?? ???? ??????)(tyx)(tyf )(ty)(sG )(tg2)0( ?? ?y1)0( ??y有 與 所以 ； 而 所以 因此 且 有 為所求 3425657)(2 ????????ssssssYx )(65s13)(2 sFsssYf ????0,45)( 32 ??? ?? teety ttx1134251165s13)(2 ???????????sssssssYf)()45()( 32 teeety tttf ???? ???0,810)()()( 32 ?????? ??? teeetytyty tttfx25386513)()()(2 ?????????ssssssFsYsG f)()58()( 23 teetg tt ??? ?? R LC系統(tǒng)的復頻域分析 ? 用線性常系數(shù)微分方程描述輸入、輸出關系的 RLC系統(tǒng)，可以利用單邊拉氏變換的性質(zhì)，將 RLC系統(tǒng)用復頻域模型來表示，大大簡化系統(tǒng)分析與計算。 ，則有 )()( sFtf ? )]R e [( 0??ssdsFdtft )()()( ?? )]R e [( 0??s?nnnsdsFdtft )()()( ??)()( sFtf ? )]R e [( 0??s??? s dFt tf ?? )()()),0m a x (]R e[( 0??s⑻ 復頻域微分 若 ，則有 ⑼ 復頻域積分 若 ，則有 ). . .210]R e [( 0 ，?? ns ?)(tf )(t?)()( sFtf ? )]R e [( 0??s )(tf)(lim)(lim)0( 0 sFstff st ???? ?? ?)(tf ??t )(?f )()( sFtf ?,]R e[( 0??s )00 ???? ? )(ssF)(tf )(l i m)(l i m)(0 sFstff st ??? ???⑽ 初值和終值定理 初值定理：若 中不包含沖激函數(shù) 及其各階導數(shù)，并且 ， 則 。在復平面上， 能使 F(s)存在的 s 的取值范圍稱為 F(s) 的收斂域。由于 F(s)的存 在與否，完全由 s 的實部 σ決定，而與 s 的虛部 jω無關，因此 收斂域的邊界是平行于 jω軸的直線。 在 時的極限 存在，并且 ， ， 只在 [s] 右半平面及虛軸上解析 的終值為 。 ? 1） KCL、 KVL的 S域形式 對 KCL和 KVL的時域形式 與 分別取單邊拉氏變換，則有 KCL和 KVL的 S域形式如下 () 式 ()表明：流入集總電路任一節(jié)點的電流的象函數(shù)的代數(shù)和為零；而沿集總電路中任一回路的各支路電壓的象函數(shù)的代數(shù)和也為零。 ? 動態(tài)性能： ① 當 0 K 時，閉環(huán)特征根都是負實根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應為非周期過程。 ? 繪制參數(shù)根軌跡時， 需按系統(tǒng)特征方程構造新系統(tǒng)，使所選參量 a替代原根軌跡增益 K*的位置，將原特征方程寫成 ? （ ） ? 例 若 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制以 T 為參變量的閉環(huán)根軌跡。 ? 3. 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 ? 系統(tǒng)的根軌跡分析主要包括：系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；利用主導極點與偶極子的概念把高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)；定性分析參數(shù)變化對近似的一、二階系統(tǒng)的性能的影響，并定量估算系統(tǒng)的性能指標；或者按照系統(tǒng)性能指標的要求，確定主導極點及其對應的 K* 值；必要時可以通過配置附加閉環(huán)零點產(chǎn)生新的偶極子，以確保系統(tǒng)性能指標要求的實現(xiàn)。 ? 接著就可以應用模 方程進一步確定這些滿足相方程的點所對應的根軌跡增益 K* 或開環(huán)增益 K 的值。 ⑤ 不同序列的雙邊 Z變換可能相同，即序列與其雙邊 Z變換并非一一對應，只有將序列的雙邊 Z變換與收斂域連同一起，才是與序列一一對應的。 () )(kf)(zF??????0)(kkzkf)(zF使 的單邊 Z 變換 存在的充分條件是 Z 復平面上使式 ()的級數(shù)收斂的 z 的區(qū)域稱為 的收斂域。 與 之間的對應關系可表示為 。 ③ 無限長反因果序列雙邊 Z變換的收斂域為 |z||z0|，即以|z0|為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。 ? 首先由相方程試探并確認所期望的閉環(huán)極點是否在真正的根軌跡上 。 ? 例如，某單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 有 n = 4 ， m = 1 ，且 ， ， ， ；在分析其動態(tài)性能時，可認為 s3 與 z1 構成了偶極子， s4 為允許忽略的次要極點， 共軛極點則成為主導極點。 視開環(huán)零點在 遠處，對 分離點 d ，有 即 ，解得 ， ， 不在根軌跡上，故取 分離角則為 至此，可完成此系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡如圖 。 ? 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) ? 閉環(huán)特征方程 ， ? 閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點） ? 系統(tǒng)的根軌跡如圖 。試求系統(tǒng)的零輸入響應 零狀態(tài)響應 、完全響應 以及系統(tǒng)函 數(shù) 和單位沖激響應 。 式中： 重積分。由于 σ =Re[s]， 所以 F(s)是否存在，取決于是否選擇了適當?shù)? s 。 ? 例 求時限信號 f1(t)=ε(t)ε(tτ),τ 0 的雙邊拉氏變換及其收斂域 解：設 f1(t)的雙邊拉氏變換為 F1(s)，則有 由上述積分過程可知： F1(s)的存在與 σ的取值無關可任意選取。 的初值為 終值定理：若 （ 原點除外），則 表 單邊拉氏變換的性質(zhì) 6）單邊拉普拉斯逆變換 求單邊拉氏變換的逆變換是復頻域分析法的基本問題。 ? ? 0)(ti ? ? 0)(tu?????????0)(U0)(Iss? 2） R LC元件的 S域模型 ⑴ 零狀態(tài)下 R LC元件的 S域模型 )( ti)( tuR )(I s)(U sR)( ti)( tuL )(I s)(U sL s)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C s圖 零狀態(tài)下 R LC 元件的 S 域模型 ⑵ 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域模型 )( ti)( tuL )(I s)(U sL s)0(?iLa .)( ti)( tuC )(I s)(U s1 / C ssu /)0(?b .)( ti)( tuL)(I s)(U sL ssi /)0( ?a .)( ti)( tuCb .)(I s)(U s1 / C s)0( ?uC圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域并聯(lián)模型 圖 非零狀態(tài)下 LC元件的 S域串聯(lián)模型 )( tf )( ty)( tu C)( ti L LCR2 ? 1H 1F)(tf )(ty )(tg)0(,)0( ?? cL ui)()( ttf ??1)( ?sF )()()( sGtgty f ??圖 例 例 圖 電路中， R = 2Ω， L = 1H， C = 1F，輸入 ，輸出 ① 求系統(tǒng)的單位沖激響應 ； ② 確定初始狀態(tài) 。 ? ② 當 K = 時，系統(tǒng)有兩個相同負實根（二重極點），呈臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應仍為非周期過程。 ? 解：由題，原系統(tǒng)特征方程為 考慮nm 的限制，應將特征方程中不含 T 的項作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子，而把含 T 的項作為新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分母，即有 0)( )(1 ?? sQ sPa)1()()()(??? sTsssHsG)()(2 ????? ssssT0)10( 26101 22?? ??? ssT ss? 可畫出 變化時的參量根軌跡，如圖 。 ? 1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 ? 利用系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學條件 ，可以由系統(tǒng)根軌跡 直接進行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 。 例 若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) )44)(44()()( jsjssKsHsG??????如圖 ， 其 所示 ， 試確定滿足阻尼比 ?? 時的 K* 值。 ? 3）常用序列的雙邊 Z變換 ? 4）雙邊 Z變換的性質(zhì) ? 5） z 域逆變換 雙邊 Z逆變換的計算有冪級數(shù)展開法、部分分式法、反演積分法 (留數(shù)法 )等方法。 () 單邊 Z 變換的收斂域與因果信號雙邊 Z 變換的收斂域相同。