【正文】 21()Hs m s k? ?1020( ) 2 0 2( ) ( ) 2 ( ) 20fff f f fff t F t t t tf t f t F t t t t t ttt? ? ? ??? ? ? ? ??? ??解： /211 02 2 22 11( ) [ H ( ) ( ) ] ( 1 2 )ffs t s tfnFx t s F s e em t s s????? ??? ? ? ??????LLf(t) F0 t tf tf/2 2 120 2[ ( ) ] ( ) ( ) ( )f fft ts t s ttf t F s f t e d t f t e d t??? ? ???L/2022 1 ( 1 2 )ffs t s tfF eets??? ? ?111 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( ) ( sin )nn n n n ny t t ts s s s ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ??????? ??? ? ? ???LL設(shè) 利用時(shí)移特性 022( ) ( ) 2 ( 2 ) ( )ffnfFx t y t y t t y t tmt? ??? ? ? ? ???第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 初始狀態(tài)不是靜止 ? 在激振力開始作用的 t=0時(shí)刻，存在初始位移 x0和初速度 v0 000()0( ) s in c o s1 ( ) sin ( )nnt ndddttddxxx t e t x tF e t dm??? ? ??????? ? ? ????????? ? ???????初始瞬態(tài)響應(yīng) ? 支承運(yùn)動 y引起的振動 ? ? ? ? 0m x c x y k x y? ? ? ? ?m x c x k x c y k y? ? ? ?? 相當(dāng)于受到兩個力的激勵 F c y k y??第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 設(shè)初始狀態(tài)靜止 ? 支承運(yùn)動的加速度 已知 ? ? ? ? 0m x c x y k x y? ? ? ? ? 0m x c z k z? ? ?? 用相對位移處理將更為方便，令 ()0()201( ) ( ) si n ( )1 ( 2 ) si n ( )nnttddttn n ddx t k y c y e t dmy y e t d? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ?? ? ???yz x y??()m x y c z k z m y? ? ? ? ? m z c z k z m y? ? ? ?已知 x z y??第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 例 :求質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)在 t=0時(shí)刻受突加常力 F0作用下的響應(yīng) 令 39。 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? Fourier變換法 – 周期激勵：將激振力用傅立葉級數(shù)展開，分別對各階諧波進(jìn)行響應(yīng)分析，然后線性疊加。 ? 當(dāng) p?0=?n時(shí)，發(fā)生共振，即周期激勵也可激起系統(tǒng)共振。 ? ζ=0, 隨 ω/ωn變化 , 曲線在 ω/ωn=1處間斷。這里 中的 是由靜平衡位置算起的。設(shè) 、 為 、 對應(yīng)的時(shí)間， 為整數(shù)，則 ?1x 1?jx1t jTtt j ??? 111x 1?jxj1 1 2 1 21 2 3 1 2 3 1l n l n ... l n l n ... l njjj j jxxx x x x x jx x x x x x x ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? ??? ? ? ?（ 233） 11ln1??jxxj?（ 234） 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例 實(shí)驗(yàn)觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在 5個完整的周期后衰減了 50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼因子。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 小幅振動 （ θ很小 ） ， sinθ≈θ， cosθ≈1 ， 將 （ b） 、 （ c） 代入 （ a） ， 得到 : ? ?322 2 2R g R? ? ? ? ?? ? ? （ d） ? ? 02gR??????（ e） ? ?2ngR? ?? ?（ f） 整理可得 : 當(dāng) θ很小時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動的確象 簡諧振子 ，其 自然頻率 為 : ccIM? ? （ a） 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 對于復(fù)雜系統(tǒng)，是簡便的固有頻率求解方法 ? 任選兩個時(shí)刻，系統(tǒng)機(jī)械能總和相等 ? 狀態(tài) 1： m通過靜平衡位置時(shí)刻 －此點(diǎn)為勢能參考點(diǎn)， U1＝ 0，動能最大 T1＝ Tmax ? 狀態(tài) 2：到達(dá)最大位移處的時(shí)刻 －勢能最大 U2＝ Umax，動能最小 T2＝ 0 TU?? 常 數(shù) d( T + U ) 0dt ?1 1 m a x 2 2 m a xT U T T U U? ? ? ? ?? 能量法 ? 無阻尼質(zhì)量 彈簧系統(tǒng)，運(yùn)動中機(jī)械能不變，維持等幅振蕩 或 m k1 k2 o m a x m a xTU?（瑞雷法 Rayleigh） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 ( ) c os nx t A t??? ?22m a x2m a x 1 2m a x m a x1212nT m AU k k ATU?????系統(tǒng)作簡諧振動 令 12 eqnkkkmm? ???那么 ? 采用瑞雷法時(shí)，假定振動形式越接近實(shí)際情況，結(jié)果越準(zhǔn)確 （彈簧并聯(lián)） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 () stx t Ae?（ 219） 2220nnss? ? ?? ? ?(220) 有阻尼自由振動 粘性阻尼因子： nmc ?? 2/?將（ 219）代入（ 218b） ? 有阻尼自由振動方程 ( ) ( ) ( ) 0m x t c x t k x t? ? ?（ 218a） 2( ) 2 ( ) ( ) 0nnx t x t x t? ? ?? ? ?（ 218b） 寫成 : 系統(tǒng)特征方程 () stx t Ae?系統(tǒng)的通解 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 阻尼因子 ζ對 響應(yīng)的影響。 最常見、線性 ?干摩擦阻尼（ Coulomb damping） ：相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對運(yùn)動所致。 ?ζ＞ 1： 特征方程的根始終在實(shí)軸上 ,且 ζ→∞ ， s1→ 0、 s2→∞ 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 系統(tǒng)的 通解 : ? ?? ? ? ?? ?? ? tnnnntstsAtAtAtAeAeAtx????????????????????????????)1e x p ()1e x p (1e x p1e x p)(222122212121（ 222） () stx t Ae?（ 219） ? ?12 2 1ssn? ? ?? ? ? ?（ 221） ? 系統(tǒng)的通解 單自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 的影響 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 ? 過阻尼 (ζ ＞ 1) ? ?? ? ? ?? ?? ? tnnnntstsAtAtAtAeAeAtx????????????????????????????)1e x p ()1e x p (1e x p1e x p)(222122212121（ 222） 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 ζ ＞ 1 ? 非振蕩 ， 且隨時(shí)間 按指數(shù)規(guī)律衰減 → 0 ? x(t)的形狀取決于 A1和 A2， 也即取決于 x0和 v0 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的自由振動 指數(shù)衰減的響應(yīng)。 3Lmme f f???3Lmkn ????（ 239） ? ? )(/ txL? 單自由度系統(tǒng)的自由振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 系統(tǒng)對外部激勵的響應(yīng)稱為 強(qiáng)迫振動 。 ? ω/ωn1， |H(?)|→ 0。 1） x(0)=x0, v(0)=0. 運(yùn)動從右向左。 ? 系統(tǒng)對于 t =a 時(shí)刻單位脈沖力的響應(yīng)則為 h(t –a)。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 例：無阻尼單自由度系統(tǒng)在矩形沖擊載荷作用下振動，求響應(yīng)及其頻譜圖。d dt? ??021 c o s s in1n tddFx e t tk?? ?????????????? ? ??????021ntFek?????第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 如果無阻尼 當(dāng) nt ????是靜變形的 兩倍 ，這也是設(shè)計(jì)時(shí)采用安全系數(shù)為 2的原因。 [ ( )] ( )f t F s?L拉氏域 ()m x c x k x f t? ? ?令 2 2 2()( ) (0 ) (0 )F s m s c mX s x xm s c s k m s c s k m s c s k?? ? ?? ? ? ? ? ?[ ( )] ( )x t X s?L? ?2 ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )m s X s s x x c s X s x k X s F s?? ? ? ? ? ? ???? ?2 ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 )m s c s k X s F s m s c x m x? ? ? ? ? ?1 [ ( ) ] ( )X s x t? ?L逆變換 時(shí)域 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 2 22( ) (0 ) (0 )m s c mX s x xm s c s k m s c s k???? ? ? ?222 2(0 ) (0 )( ) (0 ) c o s 1 s i n 11nntt nnnnxxx t x e t e t? ? ? ???? ? ? ????? ?? ? ? ??應(yīng)用卷積公式 ? 將函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，查表得到逆變換 2 2 2 2 2 21( 0 ) [ ( 0 ) 2 ( 0 ) ]( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) nn n n ns x x xss ???? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?查表 1 2 2 2 211( ) ( ) ( )( ) ( 1 )nnmX s F s F sm s c s k s ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?()1101( ) [ ( ) ] ( ) s i n ( )nt tddx t X s f e t dm ? ? ?? ? ? ?? ???? ? ??L 21dn? ? ???杜哈默積分！ 初始擾動的自由響應(yīng) 零初始條件響應(yīng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ? 拉氏變換法可以得出受迫振動的全部解。 ? 如果不連續(xù)點(diǎn)在 t=0 ， 則單位階躍函數(shù)用 u(t)表示 。求 x(t)。 ? 若 ? 很小，帶寬 2Q/21 2 n? ? ? ? ?? ? ? ?（ 256） 2112nnQ ??? ? ? ?? ? ???2 2 20 .7 0 7 122 ( 1 ) ( 2 )? ? ? ??? ??Q 2 221 2