【正文】 又（ AB） T=BTAT=BA， 若 A 與 B 乘積可交換，即 AB=BA，則 （ AB） T=BA=AB，即 AB 為對稱矩陣。 27. 正確答案： D 答案解析：例如， α1=（ 1,1） , α2=（ 0,2） ,β=（ 1,1） 則 α1,α2 線性無關(guān)，而 α1+β=（ 0,0） ,α2+β=（ 1,1）線性相關(guān)。 C 是正交陣 |C|不等于 0， CTAC 相當(dāng)對 A 實行若干次初等行變換和初等列變換， A與 B 等價， B 對。 的充要條件是（ ） ≠2 ≠0 ≠2或 a≠0 ≠2且 a≠0 140. 計算： 綜合測驗題庫答案與解析 一、單項選擇題 1. 正確答案： B 答案解析： A1 正定表明存在可逆矩陣 C 使 CTA1C=In，兩邊求逆得到 C1A（ CT） 1= C1A（ C 1） T=In 即 A 合同于 In， A正定，因此不應(yīng)選 A。 A26A=E，則 A1=( )。 與 B 相似 與 B 等價 與 B 有相同的特征值 與 B 有相同的特征向量 ( ) ( ) 有一個特征值為 0，則 ( ) = =1 = =0 3 階矩陣 A 的特征值為 1， 2， 3，則 |A4E|=( ) f（ x） =x2+x+1 方陣 A 的特征值 1,0,1,則 f（ A）的特征值為 ( ) ， 1， 1 ， 1， 2 ， 1， 1 ， 0， 1 A的特征值為 1， 1，向量 α是屬于 1 的特征向量， β是屬于 1 的特征向量，則下列論斷正確的是 ( ) β線性無關(guān) +β是 A的特征向量 β線性相關(guān) β必正交 α是矩陣 A對應(yīng)于特征值 λ的特征向量， P 為可逆矩陣，則下列向量中 ( )是 P1AP 對應(yīng)于 λ的特征向量。 A.（ x+3a）（ xa） 3 B.（ x+3a）（ xa） 2 C.（ x+3a） 2（ xa） 2 D.（ x+3a） 3（ xa） D 如果按照第 n 列展 開是（ ）。 3. 正確答案： D 答案解析：因為 f 是正定二次型， A 是 n 階正定陣， 所以 A的 n 個特征值 λ1， λ2， … ， λn 都大于零， |A|＞ 0，設(shè) AP j=λjPj，則 A1Pj= Pj， A1 的 n 個特征值 ， j=1,2,…,n ，必都大于零， 這說明 A1 為正定陣， XTA1X 為正定二定型，同理， XTB1X 為正定二次型， 對任意 n 維非零列向量 X 都有 XT（ A+B） X=XTAX+XTBX＞ 0。 12. 正確答案： A 答案解析： |A|=52x， A有零特征值，得 |A|=0，故 x=，顯然應(yīng)選 A。 41. 正確答案： C 答案解析： C 的秩等于 C 的列向量組的秩，也等于 C 的行向量組的秩，而 C 的列向量組的秩為 n，故選 C。 138. 正確答案： D 答案解析： 139. 正確答案： D 答案解析： 得 a≠2且 a≠0,D為充要條件； A、 B、 C 是必 要條件。 51. 正確答案： D 答案解析： 52. 正確答案： A 答案解析：矩陣的乘法一般不滿足交換律。 18. 正確答案： A 答案解析： 得到特征值是 1， 1。 6. 正確答案： C 答案解析： A 的正慣性指數(shù)為 t，負(fù)慣性指數(shù)為 rt，因此符號差等于 2tr。 D 中的第二列元素依次為 1， 2， 3，它們的余子式分別為 1， 1， 2， D 的值為（ ） 中元素 g的代數(shù)余子式的值為（ ）。 2 個 1 個 有非 0 解，則 k=( ) A是 m 行 n 列矩陣， r(A)=r，則下列正確的是 ( ) =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)可能為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)不可能為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)一定為 nr =0 的基礎(chǔ)解系中的解向量個數(shù)為不確定 β1， β2 為 的解向量， α1， α2 為對應(yīng)齊次方程組的解，則 ( )。 ( ) 、 x2 是 AX=0 的兩不對應(yīng)成比例的解，其中 A 為 n 階方陣，則基礎(chǔ)解系中向量個數(shù)為 ( )。 =（ ）。只有當(dāng) P 是正交矩陣時，由于 PT=P1，所以 A 與 B 即相似又合同。選 D 是因為k2=0， k1≠0， x= k1 x1 仍然是 A 的特征向量。 50. 正確答案： B 答案解析：二階矩陣的伴隨矩陣就是原矩陣的主對角元素互換，副對角元素?fù)Q號。 140. 正確答案： B 答案解析： 這是一個 23 矩陣乘以 32 矩陣，乘法可以進(jìn)行且它們的積應(yīng)為 22 矩陣。 42. 正確答案： C 答案解析：可以把 α1， α2， α3， α4 組成一個矩陣，化簡為階梯形后，可見向量 組的秩為 3， α1， α2， α3 可構(gòu)成一個極大線性無關(guān)組，故選 C。 13. 正確答案： B 答案解析： ∵ 3 階矩陣 A 的特征值為 1,2,3 ∴ |λE A | 展開式含有三 個因子乘積：（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ |λE A | 展開式 λ3 項系數(shù)為 1 ∴ |λE A |=（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ A 為 3 階矩陣 ∴ | AλE |=（ 1） 3|λE A |=（ 1） 3 （ λ1）（ λ2）（ λ3） 將 4 代入上式得到 6。 這說明 XT（ A+B） X 為正定二次型， 由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以 XTABX 未必為正定二次型。 +a2nA2n+...+annAnn +a21A21+...+an1An1 +a12A21+...+a1nAn1 +a21A12+...+an1A1n n 個方程的 n 元齊次線性方程組的克拉默法則，說法正確的是（）。 ,λ2都是 n 階矩陣 A的特征值， λ1≠λ2，且 x1 與 x2 分別是對應(yīng)于 λ1 與 λ2的特征向量，當(dāng) ( )時， x=k1x1+k2 x2 必是 A的特征向量。B T 是 ( )矩陣。 的值等于（ ）。 9. 正確答案： D 答案解析： ∵ C 是正交陣，所以 CT=C1,B= C1AC，因此 A與 B 相似， A 對。系數(shù)矩陣 A= ，第一列乘以 2 加到第二列，第一列乘以 3 加到第三列，得 ，第二列乘以 3 加到第三列上，得，因此 r（ A） =3，系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)個數(shù)，因此方程組只有零解，選 C。 55. 正確答案： C 答案解析： 56. 正確答案： D 答案解析：因為 A， B 為對稱矩陣，即