【正文】 ( 3 ) 求和 把 n 個小段時間上的路程相加，就得到總 路程 s 的近似值，即 iniitvs ????)(1? 。 )x(f)x(F ?? 已知某函數(shù)的導數(shù) f (x), 求原函數(shù) F(x)。 （ 2 ） ? xxf d)( ≤ ?baxxg d)( . 一、 變上限的定積分 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 微積分基本公式 引例 設物體以速度 )( tvv ? 作直線運動，要求計算],[ 21 TT 時間內(nèi)的路程 s . 從定積分概念出發(fā)，由前面已討論的結(jié)果知道 [ 21 , TT ]所經(jīng)過的路程為 21( ) dTTv t t? . 若從不定積分概念出 發(fā)， 則知道函數(shù)為? ?? ,)(d)( Ctsttv 其中 )()( tvts ?? ，于是 [ 21 , TT ] 時間內(nèi)所走路程就是 )()( 12 TsTs ? . 綜合上述兩個方面，得到 ? ??21)()(d)( 12TT TsTsttv . 這個等式表明速度函數(shù) )( tv 在 [ 21 , TT ] 上的定積分 , 等于其原函數(shù) )( ts 在區(qū)間 [ 21 , TT ] 上的改變量 . 那么，這一結(jié)論有沒有普遍的意義呢？ 設函數(shù) )( xf 在 [ ba , ] 上連續(xù) , ?x [ ba , ] ，于是積分?xaxxf d)( 是一個定數(shù)，這種寫法有一個不方便之處，就是x 既表示積分上限，又表示積分變量 . 為避免混淆，我們把積分變量改寫成 t ，于是這個積分就寫成了 ?xattf d)( . 當 x 在 [ ba , ] 上變動時，對應于每一個 x 值 , 積分?xattf d)( 就有一個確定的值，因此 ?xattf d)( 是變上限 x 的一個函數(shù)，記作 )( xΦ = ?xattf d)( （ a ≤ x ≤ b ）通常稱函數(shù) )( xΦ 為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示 ( 見下頁 ). 一、變上限的定積分 y ) ( x f y ? x O x a b ) ( x Φ 定理 1 如果函數(shù) )( xf 在區(qū)間 [ ba , ] 上連續(xù)，則變上限積分 )( xΦ = ?xattf d)( 在 [ ba , ] 上可導，且其導數(shù)是 ? ???xaxfttfxxΦ )(d)(dd)( （ a ≤ x ≤ b ） . 證 當上限 x 獲改變量 x?時，函數(shù) )( xΦ 獲得改變量為 .d)(? ???? xxx ttfΦ由積分中值定理得 xfΦ ??? )( ? （ ? 在 x 及 xx ?? 之間） , )( ?fxΦ???. 再令 0?? x , 從而 x?? ，由 )( xf 的連續(xù)性，得 0li m?? x???xΦ)()(li m xffx????, 即 )()( xfxΦ ?? ，證畢 . 如右圖所示 : y O x a b ? x x ? ? x ) ( x Φ φ ( x ) 推論 連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 . 且函數(shù))( xΦ = ? xattf d)( 即為其原函數(shù) . 例 1 計算 )( xΦ = ? x tt0 2 ds in 在 x = 0 , 2 π 處的導數(shù) . 解 因為?xttx 02 ds indd= 2s i n x , 故 00s in)0( 2 ???Φ ；224πs i n)2π( ???Φ . 例 2 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1) ? ?? xa att txΦ e )0(dln)( ； 解 這里 )( xΦ 是 x 的復合函數(shù)，其中中間變量xu e? ，所以按復合函數(shù)求導法則， 有 xxtttuxΦ xxxxua??? ? eeelnd)e(d)dln(dddd. (2) )0(ds i n)( 1 2 ?? ? xxΦ x ?? ? . 解 ???21ds indddd xxxΦ??? )(s in 22????xx??? xxxxx s i n22s i n2????? . 定理 2 設函數(shù) )( xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，又 )( xF是 )( xf 的任一個原函數(shù)，則有 )()(d)( aFbFxxfba??? . 證 由定理 1 知，變上限積分 ??xattfxΦ d)()( 也是)( xf 的一個原函數(shù)，于是知0)()( CxFxΦ ?? , 0C 為一常數(shù) , 即 ? ??xaCxFttf0)(d)( . 我們來確定常數(shù) 0C 的值，為此，令 ax ? ，有 ? ??aaCaFttf 0)(d)( ，得 )(0 aFC ?? . 因此有 ? ??xaaFxFttf )()(d)( . 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 再令 bx ? ，得所求積分為 ? ??baaFbFttf )()(d)( . 因此積分值與積分變量的記號無關(guān)，仍用 x 表示積分變量，即得 ? ??baaFbFxxf )()(d)( , 其中 )()( xfxF ?? . 上式稱為牛頓 萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式 . 為計算方便，該公式常采用下面的格式： ? ???baba aFbFxFxxf )()()(d)( . 例 1 求定積分： ( 1) ? ?212d1 )( xxx ； （ 2 ） ? ?3221 )1(dxxx ；（ 3 ） ??112 d xx . 解 （ 1 ） ? ?? ???212122d)12(d12)(xxxxxx 654)123(213????xxx . （ 2 ） ? ????3221322111)1(dxxxx.x1xd )(d)(11232212??? xx 3221a r c s in2 x? .)21a r c s in32( a r c s in2 ??? （ 3 ） xx ?2在 ]1,1[ ? 上寫成分段函數(shù)的形式 ??????????,10,01,)(xxxxxf 于是 ? ? ?? ????1101102dd)(d xxxxxx 101210222?????xx. 例 2 計算 2c o s10del i m2xtx tx? ??. 解 因為 0?x 時 , 1c o s ?x , 故本題屬 00 型未定式 , 可以用洛必達法則來求 . 這里??xttc o s1de2是 x 的復合函數(shù) , 其中 xu c o s? , 所以 ???????xxxtxxtxc o s1c o sc o s222es i n)39。 1?x , 得 ?? A21 )(3 CB ? , 求得 52?B ． 所以 ? ?? ? 222151522151121 xxxxxx???????. 于是 ? ?? ????xxxxd12122 = xxxxxd1125121d512?????? =? ? ? ???? ????????2221d5111d512121d2151xxxxxx = Cxxx ????? a r c t a n511ln5121ln101 2. 說明 ：（ 1 ）有些不定積分，如2 ede d , d , ,lnxx xxxxx?? ? ? 4d1xx?? 等，雖然這些不定積分都存在，卻不能用初等函 數(shù)表達所求的原函數(shù)，這時稱 “ 積不出” . （ 2 ）在工程技術(shù)問題中，我們還可以借助查積分表來求一些較復雜的不定積分，也可以利用數(shù)學軟件包在計算機上求原函數(shù)． 思考題 1. 第一換元法 （ 即湊微分法 ） 與第二換元法的區(qū)別是 什么 ？ 2. 應用分部積分公式 ?? ?? uvuvvu dd 的關(guān)鍵是什么？ 對于積分 ? ,d)()( xxgxf 一般應按什么樣的規(guī)律去設 u 和 vd ？ 一、 定積分的實際背景 二、 定積分的概念 三、 定積分的幾何意義 四、 定積分的性質(zhì) 定積分的概念 定積分的概念 1. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形 :若圖形的三條邊是直線段 ， 其中有兩條垂直 于第三條底邊 ， 而其第四條邊是曲線 ， 這樣的圖形稱為曲 邊梯形 ， 如左下圖所示 . y O M P Q N B x C A A 推廣為 一、定積分的實際背景 曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著 y軸方向切割成許多窄窄的長條，把每個長條近似看作一個矩形，用長乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細，誤差越小，于是當所有的長條寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了 .如下圖所示： 0 x 1 x 2 x x n O x y y = f (x) 0 x = a x n =b 曲邊梯形面積的確定步驟： ( 1 ) 分割 任取分點 bxxxxxann???????? 1210? ,把底邊 [ a , b ] 分成 n 個小區(qū)間 [1x , 2x ]( ),2,1 ni ?? . 小區(qū)間長度記為 )。設 0?? tx ，即 2tx ? ，則 t d tdx 2? ， 于是 ????? tt d txdx121 dtt? ??? )111(2 Ctt ???? 1ln22 Cxxxt ???? 1ln22回代 ２ ． 第二換元積分法 第一換元積分方法是選擇新的積分變量 ? ? ,xu ?? 但對有些被積函數(shù)則需要作相反方式的換元，即令 ? ? ,tx ??把 t 作為新積分變量，才能積出結(jié)果，即 ? ?? ?dxtf x x???換元 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11d. txf t t t F t C F x C?? ? ????? ???? ???? ??? 積分回代這種方法叫第二換元法． 使用第二換元法關(guān)鍵是恰當?shù)倪x擇變換函數(shù) ? ? ,tx ?? 對于 ? ? ,tx ?? 要求其單調(diào)可導， ? ? ,0?? t? 這樣就能保證 其反函數(shù) ? ?xt 1?? ? 存在 ． 下面通過一些例子來說明． 例 ９ 求 ? ? xxx d1 . 解 為了消去根式，可令 ? ? ,02 ?? ttx 則 .d2d ttx ? 于是 ?