【正文】 Caxaxa x ???? (3) .|c o s|lnc o s)( c o sddc o ss indt a n ? ?? ?????? Cxxxxxxxx 類似得 (4) .|s i n|lndc o t Cxxx ??? (5) xxx xxxxxx xxxxx ds e ct an t ans e cs e cds e ct an )t an( s e cs e cds e c2? ? ? ???? ?? .|t a ns e c|ln)s e c( t a nd)s e c( t a n 1? ?????? Cxxxxxx類似得 (6) ? ??? Cxxxx |c o tc s c|lndc s c ． 本題六個(gè)積分今后經(jīng)常用到，可以作為公式使用． 例 7 求下列積分： (1) ? ? ；xax d122 (2) ? ??；xxxd432(3)1d1e xx??； (4) ? ；xx ds in 2 (5) ??；xxdc o s11(6) ? xxx d3c o s5s in ． 解 本題積分前，需先用代數(shù)運(yùn)算或三角變換對(duì)被 積函數(shù)做適當(dāng)變形． ? ? xaxaxaxax d112 1d11 22 ?? ?????? ?????? ? ? ? ]dd[21 ? ???????axaxaxaxaCaxaxa ????? ]ln[ l n21.ln21 Cax axa ????（ ２） xxxxxxxx d44d3d43222 ? ?? ?????? ? ?22 4d4212a r c s i n3 xxx ????? ?.42ar c s i n3 2 Cxx ????（３） xxx xxxxxx de1e1de1ee1de11 ? ?? ?????????????? ? ?xxx e1de1 1d ???? ? ?? ? .e1ln Cx x ????（４） ? ? ? ????? xxxxxxx d2c o s21d21d2 2c o s1ds i n 2 ? ???? xxx 2d2c o s4121.2s i n4121 Cxx ???（５） ?? ? ????????????????????? 2d2c o s12c o s2ddc o s1122xxxxxx .2ta n Cx ??（６） ? ?? ? ?? xxxxxx d2s i n8s i n21d3c o s5s i n （積化和差） ? ? ? ??????? ?? ? ? xxxx 2d2s i n218d8s i n8121.2c o s418c o s161 Cxx ????例 8 計(jì)算積分 ? ? ．2d xx x 解一 ? ?????????????????222121d22141ddxxxxxxx ? ?? ? ? ? .12ar c s i n12112d2? ??????? Cxxx解二 因?yàn)?,d2d xxx ? 所以 ? ? .ar c s i n2)(1d21dd22 Cxxxxxxxxx ???????? ? ? 本題說明 ， 選用不同的積分方法 ， 可能得出不同形式 的積分結(jié)果 ． 例 求 ? ? xdx1 解 被積表達(dá)式的分母含有根式，要先作代換去掉根號(hào)。 (4) 取極限 當(dāng) ? ? 0ma x1????? init? 時(shí)，上述總和的極限就是 s 的精確值，即 inii tvs ?? ???)(li m10??. ?????321xxxannxx ??? 1b? , 分 ],[ ba 為 n 個(gè)小區(qū)間],[1 iixx?),2,1( ni ?? . 記 ? ?iniiiixnixxx ?????????11m ax),2,1( ?? , 再在每個(gè)小區(qū)間 ],[1 iixx?上任取一點(diǎn) i? ，作乘積 ii xf ?)( ? 的和式： 定義 設(shè)函數(shù) )( xfy ? 在 [ ba , ] 上有定義，任取分點(diǎn) ,)(1ini ixf ????二、定積分的概念 如果 0?? 時(shí) , 上述極限存在（即，這個(gè)極限值與 ],[ ba的分割及點(diǎn) i? 的取法均無關(guān)），則稱此極限值為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分，記為 ,)(limd)(10iniibaxfxxf ?? ??????其中稱 )( xf 為被積函數(shù) , xxf d)( 為被積式， x 為積分變量，],[ ba 為積分區(qū)間， ba , 分別稱為積分下限和上限 . 定積分定義的說明： ( 1 ) 定積分表示一個(gè)數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分上、 下限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如：???102102dd ttxx . 一般地，? ??babattfxxf d)(d)( . ( 2 ) 定義中要求積分限 ba ? ，我們補(bǔ)充如下規(guī)定： 當(dāng) ba ? 時(shí)，??baxxf 0d)( , 當(dāng) ba ? 時(shí)，? ???baabxxfxxf d)(d)( . ( 3 ) 定積分的存在性：當(dāng))( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)或只有有 限個(gè)第一類間斷點(diǎn)時(shí) ,)( xf在],[ ba上的定積分存在（也稱可積） . 如果 0)( ?xf ，則 ( ) d 0baf x x ?? , 此時(shí) ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A ，即 ? ?baAxxf d)( . x O y a b A y= f ( x) 三、定積分的幾何意義 如果 )( xf ≤ 0 ， 則 ( ) d 0baf x x ?? ， 此時(shí) ( ) dbaf x x?表示由曲線 ()y f x? ， ,x a x b?? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 A 的 負(fù)值 ，即 ( ) dbaf x x A??? . x O y a b A y= f ( x) 1 2 3( ) d .ba f x x A A A? ? ??如果 )( xf 在 ],[ ba 上有正有負(fù)時(shí)，則 ( ) dbaf x x? 表示由曲線 )( xfy ? ，直線 ,x a x b??及 x 軸所圍成的平面圖形的面積位于 x 軸上方的面積減去位于 x 軸下方的面積，如右圖所示，即 3 A ) ( x f y ? O a b x y ? ? ? 2 A 1 A 性質(zhì) 1 函數(shù)的代數(shù)和可逐項(xiàng)積分，即 ? ? ????bababaxxgxxfxxgxf d)(d)(d)]()([ . 性質(zhì) 2 被積分函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面，即 ? ??babaxxfkxxkf d)(d)( （ k 為常數(shù)） . 性質(zhì) 3 （積分區(qū)間的分割性質(zhì)） 若 bca ?? ，則 ? ? ???bacabcxxfxxfxxf d)(d)(d)( . 注：對(duì)于 cba , 三點(diǎn)的任何其他相對(duì)位置，上述性質(zhì)仍成立，譬如： cba ?? ，則 ? ? ? ? ?????cabacbbabcdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()( , 四、定積分的性質(zhì) .d)(d)(d)(? ? ???ba ca bc xxfxxfxxf仍有 性質(zhì) 4 （積分的比較性質(zhì)） 在 ? ?,ab 上若 )( xf ≥g ( x ) ，則 ?baxxf d)( ≥ ?baxxg d)( . 性質(zhì) 5 （積分估值性質(zhì)） 設(shè) M 與 m 分別是 )( xf 在? ?,ab 上的最大值與最小值，則 ()m b a? ≤ ?baxxf d)( ≤ )( abM ? . 證 因?yàn)? m ≤ )( xf ≤ M （題設(shè)）， 由性質(zhì) 4 得?baxm d ≤ ?baxxf d)( ≤ ?baxM d ，再將常數(shù)因子提出，并利用 abxba??? d ， 即可得證 . 性質(zhì) 6 （積分中值定理） 如果 )( xf 在 ? ?ba , 上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) ? ?ba ,?? ，使得 ? ??baabfxxf ))((d)( ? . 證 將性質(zhì) 5 中不等式除以 ab ? ，得 m ≤ ??baxxfabd)(1≤ M . 設(shè) ? ??baxxfab?d)(1, 即 mM ??? . 由于 )( xf 為 ? ?ba ,區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) , 所以 , 它能取到介于其最小值與最大值之間的任何一個(gè)數(shù)值（這就是連續(xù)函數(shù)的介值定理） .因 此在 ? ?ba , 上至少有一點(diǎn) ? ，使得 ?? ?)(f ，即 ,)(d)(1 ? ?? ba fxxfab ?.))((d)(? ??ba abfxxf ?中值定理的幾何意義：曲邊 )( xfy ? 在 ? ?ba , 底上所圍成的曲邊梯形面積，等于同一底邊而高為 )( ?f 的一個(gè)矩形面積，如下圖所示 . O a b x y ? ) ( ? f ) ( x f y ? 從幾何角度容易看出，數(shù)值 ???baxxfabd)(1? 表示連續(xù)曲線 )( xfy ? 在 ? ?ba , 上的平均高度，也就是函數(shù))( xf 在 ? ?ba , 上的平均值，這是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的拓廣 . 例 估計(jì)定積分 xx de1 1 2? ? ? 的值 . 解 先求 2e)(xxf?? 在 [ 1 , 1 ] 上的最大值和最小值 . 因?yàn)?e2)(xxxf???? , 令 0)( ?? xf ，得駐點(diǎn) x = 0 ，比較 )( xf 在駐點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 ,1e)0(0??f e1e)1()1(1?????ff , 故最大值 1M ? , 最小值 m = e1 . 由估值性質(zhì)得，e2≤ xxde112??? ≤ 2 . 思考題 1 . 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推證下列積分的值： (1) ??11d xx 。 當(dāng) 4?x 時(shí)， 2?t . 于是)3ln2(2)1ln(2d)111(21d21d402。 ( 2 ) 取近似 把每小段 [ iitt ,1?] 上的運(yùn)動(dòng)視為勻速，任取時(shí)刻 ? ?iiitt ,1??? ，作乘積iitv ?)( ? ，顯然這小段時(shí)間所走路程 is? 可近似表示為 iitv ?)( ? （ ni ,2,1 ?? ） 。xxf)d()d(d )(])d([ ( 1 )????，或 ??????CxFxFCxFxxF39。 ()Fx? ? 一、不定積分的基本概念 二