【正文】 問三人合作時如何分配獲利？ 記甲乙丙三人分配為 ),( 321 xxxx ?解不唯一 (5， 3， 3) (4， 4， 3) (5， 4， 2) …… 1,321 ?xxx福 州 大 學(xué) 82 )(1Ivxnii ???niivx i ,2,1),( ?????????212121 ),()()(0)(sssvsvssvv??},2,1{ nI ??集合 (1) Shapley合作對策 滿足實(shí)函數(shù)，子集 )( svIs ???[ I,v] ~n人合作對策， v~特征函數(shù) ),( 21 nxxxx ?? ~n人從 v(I)得到的分配，滿足 v(s)~ 子集s的獲利 福 州 大 學(xué) 83 !)!1()!()(nssnsw ???niisvsvswxiSsi ?,2,1) ] ,\()()[( ??? ??公理化方法 ?s?~子集 s中的元素數(shù)目， Si ~包含 i的所有子集 )( sw ~由 ?s?決定的“貢獻(xiàn)”的權(quán)重 Shapley值 )]\()([ isvsv ? ~ i 對合作 s 的“貢獻(xiàn)” )( si?Shapley合作對策 福 州 大 學(xué) 84 三人 (I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配 x1的計算 1/3 1/6 1/6 1/3 )]1\()()[( svsvsw ?)(sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(sv1S 1 1 2 1 3 I ? ?1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3 類似可得 x2=23/6, x3=17/6 )]1\()()[(11 svsvswxSs?? ??1 2 2 3 福 州 大 學(xué) 85 合作對策的應(yīng)用 例 1 污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān) 20km 38km 河流 三城鎮(zhèn)地理位置示意圖 1 2 3 ? 污水處理，排入河流 ?三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠 (用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn) ) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q~污水量， L~管道長度 建廠費(fèi)用 P1= 管道費(fèi)用 P2= 福 州 大 學(xué) 86 230)3(,160)2(,230573)1( ????? CCC)35(73)2,1( ???????C)53(73)3,2( ???????C)55(73)3,1( ???????C460)3()1( ??? CC污水處理的 5 種方案 1）單獨(dú)建廠 620)3()2()1(1 ???? CCCD總投資 2） 1, 2合作 3） 2, 3合作 4） 1, 3合作 580)3()2,1(2 ??? CCD總 投資 595)3,2()1(3 ??? CCD總投資 合作不會實(shí)現(xiàn) 福 州 大 學(xué) 87 55638)35()535(73)3,2,1(5???????????? CD5）三城合作總投資 D5最小 , 應(yīng)聯(lián)合建廠 建廠費(fèi)： d1=73?(5+3+5)=453 1?2管道費(fèi)： d2= ? ?20=30 2?3管道費(fèi)： d3= ?(5+3) ?38=73 D5 ?城 3建議： d1 按 5:3:5分擔(dān) , d2,d3由城 1,2擔(dān)負(fù) 城 2建議： d3由城 1,2按 5:3分擔(dān) , d2由城 1擔(dān)負(fù) 城 1計算： 城 3分擔(dān) d1?5/13=174C(3), 城 2分擔(dān) d1?3/13+d3 ?3/8 =132C(2), 城 1分 擔(dān) d1?5/13+d3 ?5/8+ d2 =250C(1) 不同意 D5如何分擔(dān)？ 2 3 0)3(1 6 0)2(2 3 0)1(???CCC福 州 大 學(xué) 88 0)3()2()1(,0)( ???? vvvv ?}3,2,1{?I集合特征函數(shù) v(s)~聯(lián)合 (集 s)建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資 ),( 321 xxxx ? ~三 城從 節(jié)約投資 v(I)中得到的分配 4035 016 023 0)2,1()2()1()21( ??????? CCCv ?64556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25365230160)3,2()3()2()32(?????????????????CCCCIvvCCCv?? Shapley合作對策 福 州 大 學(xué) 89 計算 城 1從 節(jié)約投資中得到的分配 x1 )]1\()()[( svsvsw ?)(sws)1\()( svsv ?)1\(sv)(svs 1 1 2 1 3 I ? ?0 40 0 64 0 0 0 25 0 40 0 39 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 0 0 13 x1 =, 城 1 C(1)x1=, 城 2 C(2)x2=, 城 3 C(3)x3= 三城在總投資 556中的分擔(dān) x2 =, x3= x2最大，如何解釋？ 福 州 大 學(xué) 90 合作對策的應(yīng)用 例 2 派別在團(tuán)體中的權(quán)重 90人的團(tuán)體由 3個派別組成，人數(shù)分別為 40, 30, 20人。 和法 ——取列向量的算術(shù)平均 ???????????14/16/1412/1621A例??????????w??????????????????????Aw ) (31 ?????列向量歸一化 算術(shù)平均 wAw ??精確結(jié)果 :w=(,)T, ?= 福 州 大 學(xué) 57 根法 ——取列向量的幾何平均 冪法 ——迭代算法 1）任取初始向量 w(0), k:=0，設(shè)置精度 ? )()1(~ kk Aww ??2) 計算 ????? ?nikikk 1)1()1()1( ~/~3）歸一化 ????nikikiwwn 1 )()1(~1?5) 計算 簡化計算 4）若 ，停止；否則， k:=k+1, 轉(zhuǎn) 2 ???? )()1(m a x kikii ww福 州 大 學(xué) 58 3. 特征向量作為權(quán)向量 ——成對比較的多步累積效應(yīng) 問題 一致陣 A, 權(quán)向量 w=(w1,…w n)T, aij=wi/wj A不一致 , 應(yīng)選權(quán)向量 w使 wi/wj與 aij相差盡量小（對所有 i,j)。 ? 通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 BMI30 ~ 肥胖 . 福 州 大 學(xué) 11 模型假設(shè) 1）體重增加正比于吸收的熱量 ——每 8000千卡增加體重 1千克； 2）代謝引起的體重減少正比于體重 —— 每周每公斤體重消耗 200千卡 ~ 320千卡 (因人而異 ), 相當(dāng)于 70千克的人每天消耗 2020千卡 ~ 3200千卡； 3）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過 千克，每周吸收熱量不要小于 10000千卡。 定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng) CR，通過一致性檢驗(yàn) Saaty的結(jié)果如下 福 州 大 學(xué) 44 “ 選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn) ?????????????????1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對目標(biāo)的 成對比較陣 最大特征根 ?= 權(quán)向量 (特征向量 )w =(,)T ?? ??CI一致性指標(biāo) 隨機(jī)一致性指標(biāo) RI= (查表 ) 一致性比率 CR= 通過一致性檢驗(yàn) 福 州 大 學(xué) 45 組合權(quán)向量 記第 2層（準(zhǔn)則）對第 1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為 Tn ),()2()2(1)2( ??同樣求第 3層 (方案 )對第 2層每一元素 (準(zhǔn)則 )的權(quán)向量 ???????????12/15/1212/15211B方案層對 C1(景色 )的成對比較陣 ???????????1383/1138/13/112B方案層對 C2(費(fèi)用 )的成對比較陣 …C n …B n 最大特征根 ?1 ?2 … ?n 權(quán)向量 w1(3) w2(3) … wn(3) 福 州 大 學(xué) 46 第 3層對第 2層的計算結(jié)果 k )3(kwk?kCI1 0 0 2 3 3 4 3 5 組合權(quán)向量 RI= (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗(yàn) w(2) 方案 P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為 ?+ …= 方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (, , )T 福 州 大 學(xué) 47 Tn ),()2()2(1)2( ??)2()3()3( wWw ?組合 權(quán)向量 第 1層 O 第 層 C1,…C n 第 3層 P1, …P m nk Tkmkk ,2,1,),( )3()3( 1)3( ?? ??第 2層對第 1層的權(quán)向量 第 3層對第 2層各元素的權(quán)向量 ],[ )3()3(1)3( nwwW ??構(gòu)造矩陣 則第 3層對第 1層的組合權(quán)向量 )2()3()1()()( wWWWw sss ???第 s層對第 1層的組合權(quán)向量 其中 W(p)是由第 p層對第p1層權(quán)向量組成的矩陣 福 州 大 學(xué) 48 層次分析法的基本步驟 1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型 深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo) —準(zhǔn)則或指標(biāo) —方案或?qū)ο螅蠈邮芟聦佑绊?，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。 制動 底盤 車輪 方向盤 發(fā)動機(jī) 減震裝置