【正文】 數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。234。a+b+c=222解析：237。當(dāng)⊿＝0時(shí)，b+c=0，此時(shí)，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)。plnnp229。）（B）（2，0）∪（0，2）（D）（165。)上單調(diào)遞增，8分則當(dāng)x206。)(a)=0,ba,所以G(b)0,即g(a)+g(b)2g(3。a+xa+x.)]=lnxln),則F39。(x)=2xx=xx(x1)(2x2+x+1)當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)162。2解含參不等式中參數(shù)范圍問(wèn)題例3已知不等式11112+++loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)n+1n+22n123n恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問(wèn)題中的整體性運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題，是一種制造性的思維活動(dòng)。22二、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。)上，0 6122x+lnxx3 23【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。當(dāng)0xa時(shí)，F(xiàn)(x)0,因此F(x)在(0,a)a時(shí),F(x)0,因此F(x)在(a,+165。（k=1n)都成立。)時(shí)，有x3x2+ln(x+1)0, 整理，得ln(x+1)對(duì)任意正整數(shù)n，取x=所以ln1111得ln(+1)23，nnnn10分n+1111123，整理得ln(n+1)lnn23,nnnnn1111,ln3ln2,2223121311, 23nn則有l(wèi)n2ln1……ln(n+1)lnn所以(ln2ln1)+(ln3ln2)+L+[ln(n+1)lnn]（1111)+(12132223+L+（113)，2nn即ln(n+1)229。(x)f(x)≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（A）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)4（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)5。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。234。0，即：0163。30.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。234。0，即：0163。30.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x而0得f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說(shuō)明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來(lái)證明，則證明過(guò)程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過(guò)來(lái)，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。但注意到8102323x+5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)+=()+5()3x+1x+1x+1(x+1)f(x)=x3+5x去投石問(wèn)路。解：設(shè)f(n)=∵f(n+1)f(n)111+++，n+1n+22n1111+=0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n+12n+2n+1(2n+1)(2n+2)712∴f(n)loga(a1)+對(duì)大于1的一切自然數(shù)n恒121237121成立,必須有l(wèi)oga(a1)+∴l(xiāng)oga(a1)1，而a＞1，∴a1＜12123a數(shù)。