【正文】 ：（ Ⅰ ）當(dāng) a=2， b=0 時(shí)， f（ x） = x3﹣ 2x2+3x，求導(dǎo)， f′（ x） =x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）， 當(dāng) x∈ （ 0， 1）時(shí)， f′（ x） ＞ 0，故函數(shù) f（ x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增， 當(dāng) x∈ （ 1， 3）時(shí)， f′（ x） ＜ 0，故函數(shù) f（ x）在（ 1， 3）上單調(diào)遞減， 由 f（ 0） =f（ 0） =0， f（ 1） = ， ∴ f（ x）在 [0， 3]上的值域?yàn)?[0， ]； （ Ⅱ ）由 f′（ x） =x2﹣ 2ax+3，則 △ =4a2﹣ 12， ① 當(dāng) △≤ 0，即 a2≤ 3 時(shí)， f′（ x） ≥ 0， f（ x）在 R 上單調(diào)遞增，滿足題意， ② 當(dāng) △＞ 0，即 a2＞ 3 時(shí)，方程 f′（ x） =0 有兩根，設(shè)兩根為 x1， x2，且 x1＜ x2，則 x1+x2=2a， x1x2=3， 則 f（ x）在（﹣ ∞ ， x1），（ x2， +∞ ）上單調(diào)遞增， 在（ x1， x2）上單調(diào)遞減， 由題意可知丨 f（ x1）﹣ f（ x2）丨 ≤ ， ∴ 丨 ﹣ a（ x12﹣ x22） +3（ x1﹣ x2）丨 ≤ ， 化簡(jiǎn)得： （ a2﹣ 3） ≤ ，解得： 3＜ a2≤ 4， 綜合 ①② ，可得 a2≤ 4， 解得：﹣ 2≤ a≤ 2． a 的取值范圍 [﹣ ]． 21．已知點(diǎn) A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 1）在橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）上． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ） P 是線段 AB 上的點(diǎn)，直線 y= x+m（ m≥ 0）交橢圓 C 于 M、 N 兩點(diǎn)，若△ MNP 是斜邊長(zhǎng)為 的直角三角形，求直線 MN 的方程． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）由直線可知：橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，又過點(diǎn) A， B，即可求得 a 和b 的值，求得橢圓方程； （ Ⅱ ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得丨 MN 丨，分類，當(dāng) MN 為斜邊時(shí)， = ，即可求得 m=0，滿足題意，當(dāng) MN 為直角邊時(shí)，兩平行線 AB 與 MN 的距離 d= 丨 m﹣ 1 丨，利用勾股定理即可求得 m 的值，求得直線方程． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意可知：橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）焦點(diǎn)在 x 軸上，由點(diǎn) A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 1）， 則 a=2， b=1， ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ； （ Ⅱ ）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， 則 ，消去 y，整理得 x2+mx﹣ 1=0， 則 △ =2﹣ m2＞ 0， x1+x2=﹣ 2m， x1x2=2m2﹣ 2， 則丨 MN 丨 = 丨 x1﹣ x2 丨 = ， ① 當(dāng) MN 為斜邊時(shí)， = ，解得： m=0， 滿 足 △＞ 0， 此時(shí)直線 MN 為直徑的圓方程為 x2+y2= ， 點(diǎn) A（﹣ 2， 0） B（ 0， 1）分別在圓外和圓內(nèi)，即在線段 AB 上存在點(diǎn) P． 此時(shí)直線 MN 的方程誒 y= x，滿足題意， ② 當(dāng) MN 為直角邊時(shí)，兩平行線 AB 與 MN 的距離 d= 丨 m﹣ 1 丨， ∴ d2+丨 MN 丨 2= 丨 m﹣ 1 丨 2+（ 10﹣ 5m2） =10， 即 21m2+8m﹣ 4=0， 解得： m= ， m=﹣ （舍）， 由 △＞ 0，則 m= ， 過點(diǎn) A 作直線 MN： y= x+ 的垂線，可得滿足坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ），垂足在橢圓外， 即在線段 AB 上存在點(diǎn) P， ∴ 直線 MN 的方程為 y= x+ ，符合題意， 綜上可知：直線 MN 的方程為： y= x 或 y= x+ ． 22．已知數(shù)列 {an}滿足 an＞ 0， a1=2，且（ n+1） an+12=nan2+an（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）證明： an＞ 1； （ Ⅱ ）證明： + +…+ ＜ （ n≥ 2）． 【考點(diǎn)】 數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系可得（ n+1）（ an+1+1）（ an+1﹣ 1） =（ an﹣ 1）（ nan+n+1），再根據(jù) an＞ 0，可得 an+1﹣ 1 與 an﹣ 1 同號(hào)，問題得以證明， （ Ⅱ ）先判斷出 1＜ an≤ 2，再得到 an2≤ ， n≥ 2，利用放縮法得到 ≤ 2（﹣ ） +（ ﹣ + ），再分別取 n=2， 3，以及 n≥ 4 即可證明． 【解答】 證明：（ Ⅰ ）由題意得（ n+1） an+12﹣（ n+1） =nan2﹣ n+an﹣ 1， ∴ （ n+1）（ an+1+1）（ an+1﹣ 1） =（ an﹣ 1）（ nan+n+1）， 由 an＞ 0， n∈ N*， ∴ （ n+1）（ an+1+1） ＞ 0， nan+n+1＞ 0， ∴ an+1﹣ 1 與 an﹣ 1 同號(hào)， ∵ a1﹣ 1=1＞ 0， ∴ an＞ 1； （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，故（ n+1） an+12=nan2+an＜ （ n+1） an2， ∴ an+1＜ an， 1＜ an≤ 2， 又由題意可得 an=（ n+1） an+12﹣ nan2， ∴ a1=2a22﹣ a12， a2=3a32﹣ 2a22， …， an=（ n+1） an+12﹣ nan2， 相加可得 a1+a2+…+an=（ n+1） an+12﹣ 4＜ 2n， ∴ an+12≤ ，即 an2≤ ， n≥ 2， ∴ ≤ 2（ + ） ≤ 2（ ﹣ ） +（ ﹣ + ）， n≥ 2， 當(dāng) n=2 時(shí)， = ＜ ， 當(dāng) n=3 時(shí)， + ≤ ＜ ＜ ， 當(dāng) n ≥ 4 時(shí)， + +…+ ＜ 2（ + + + ） +（ + + ﹣ ）=1+ + + + + ＜ ， 從而，原命題得 證 2017 年 3 月 30 日