【正文】 ，所以 BC DE? . ． ．．．．．．．．．． 2分 又因?yàn)?PD CD? ，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 DE PC? . 而 PC BC C? ，所以 DE? 平面 PBC . 而 PB PBC?平 面 ，所以 PB DE? . 又 PB EF? ， DE EF E? ，所以 PB? 平面 DEF . ． ．．．．．． ．．．． 4分 由 DE? 平面 PBC ， PB? 平面 DEF ，可知四面體 BDEF 的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體 BDEF 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB DEF??， ， EFB DFB??， .． ．．．．．．．．．． 6分 （Ⅱ）如圖 1，在面 PBC 內(nèi)，延長(zhǎng) BC 與 FE 交于點(diǎn) G ，則 DG 是平面 DEF 與平面 ABCD 的交線 . 由（Ⅰ）知， PB DEF?平 面 ，所以 PB DG? . 又因?yàn)?PD? 底面 ABCD ，所以 PD DG? . 而 PD PB P? ，所以 DG PBD?平 面 . 故 BDF? 是面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的平面角， ． ．．．．．．．．．． 8分 設(shè) 1PD DC??， BC?? ，有 21BD ???， 在 Rt△ PDB中 , 由 DF PB? , 得 π3DPF FDB? ? ? ?, 則 2πt a n t a n 1 33 BDD P F PD ?? ? ? ? ? ?, 解得 2?? .． ．．．．．． ．．．． 11分 所以 12.2DCBC ???故當(dāng)面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為 π3 時(shí)， 22DCBC?.． ．．．． 12分 . （解法 2）（Ⅰ）如圖 2，以 D 為原點(diǎn)，射線 ,DADCDP 分別為 ,xyz 軸的正半軸，建立空間直 角 坐 標(biāo) 系 . 設(shè) 1PD DC??， BC?? ，則 ( 0 , 0 , 0) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 0)D P B C?，( ,1, 1)PB ???，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 11(0, , )22E ， 11(0, , )22DE? ， ． ．．．．．．．．．． 2分 于是 0PB DE??，即 PB DE? . 又已知 EF PB? ，而 DE EF E? ，所以 PB DEF?平 面 . 因 (0,1, 1)PC??, 0DE PC??, 則 DE PC? , 所以 DE PBC?平 面 . 由 DE? 平面 PBC ， PB? 平面 DEF ， ． ．．．．．．．．．． 4分 可知四面體 BDEF 的四個(gè)面都是直角三角形， 圖 1 圖 2 即四面體 BDEF 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB DEF??， ， EFB DFB??， .． ．．．．．．．．．． 6分 （Ⅱ）由 PD ABCD?平 面 ，所以 (0, 0, 1)DP? 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量； 由（Ⅰ）知， PB DEF?平 面 ，所以 ( , 1, 1)BP ?? ? ? 是平面 DEF 的一個(gè)法向量 . ． ．．．．．．． 8分 若面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為 π3， 則2π 11c o s 32| | | | 2B P D PB P D P ??? ? ?? ?，解得 2?? . ． ．．．．．．．．．． 11分 所以 12.2DCBC ???故當(dāng)面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為 π3時(shí)， 22DCBC?. ． ．．． 12分 20.(本小題滿分 12 分 )如圖 ， 已知拋物線 C1： y＝ 14x2， 圓 C2： x2＋ (y－ 1)2＝ 1， 過(guò)點(diǎn) P(t， 0)(t＞ 0)作不過(guò)原點(diǎn) O的直線 PA， PB 分別與拋 物線 C1和圓 C2相切 ， A， B 為切點(diǎn)． (I)求點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)； (II)求 △ PAB 的面積． 解： (I)由題意知直線 PA的斜率存在 ， 故可設(shè)直線 PA 的方程為 y＝ k(x－ t)． 由?????y＝ k（ x－ t） ，y＝ 14x2 消去 y， 整理得 x2－ 4kx＋ 4kt＝ 0， ． ．．．．．．．．．． 2分 由于直線 PA與拋物線相切 ， 得 k＝ ， 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2t， t2)． ． ．．．．．．．．．． 4分 設(shè)圓 C2的圓心為 D(0， 1)， 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (x0， y0)．由題意知：點(diǎn) B， O關(guān)于直線 PD對(duì)稱(chēng) ， 故?????y02＝－x02t＋ 1，x0t－ y0＝ 0，解得?????x0＝ 2t1＋ t2，y0＝ 2t21＋ t2，因此 ， 點(diǎn) B 的 坐 標(biāo) 為??????2t1＋ t2，2t21＋ t2 .． ．．．．．．．．．． 7分 （ II） 由 (I)知 |AP|＝ t 解：∵ a＞ 0,b＞ 0 且 a+b=1 ∴ 1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+ba +4ab ≥ 9, 故 1a +4b 的最小值為 9， ．．．．．．．．．．．．．． 4分 當(dāng)且僅當(dāng) a=1/3,b=2/3時(shí)取等號(hào) ．．．．．．．．． 5分 因?yàn)閷?duì) a,b∈ (0， +∞ ),使 1a +4b ≥｜ 2x1｜ ｜ x+1｜恒成立， 所以，｜ 2x1｜ ｜ x+1｜≤ 9．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分 當(dāng) x≤ 1時(shí)， 2x≤ 9, ∴ 7≤ x≤ 1,當(dāng) 1＜ x＜ 12 時(shí)， 3x≤ 9, ∴ 1＜ x＜ 12 ,當(dāng) x≥ 12 時(shí) ,x2≤ 9， ．．．．．．．．．．．．．．．． 9分 ∴ 12≤ x≤ 11,∴ 7≤ x≤ 11．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分