20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理全國(guó)卷2，參考解析(更新版)
【正文】 ，所以 ln 0ax a x?? ≥ ． 令 ? ? lng x ax a x? ? ? ，則 ??10g ? ， ? ? 11axg x axx?? ? ? ?， 當(dāng) 0a≤ 時(shí)， ? ? 0gx? ? ， ??gx單調(diào)遞減，但 ??10g ? ， 1x? 時(shí)， ? ? 0gx? ； 當(dāng) 0a? 時(shí)，令 ? ? 0gx? ? ，得 1xa?． 當(dāng) 10 xa??時(shí)， ? ? 0gx? ? ， ??gx單調(diào)減；當(dāng) 1xa?時(shí)， ? ? 0gx? ? ， ??gx 單調(diào)增． 若 01a??，則 ??gx在 11a??????，上單調(diào)減， ? ?1 10gga????????； 若 1a? ，則 ??gx在 1 1a??????，上單調(diào)增， ? ?1 10gga????????； 若 1a? ，則 ? ? ? ?m in 1 10g x g ga??? ? ?????， ? ? 0gx≥ ． 綜上， 1a? ． ⑵ ? ? 2 lnf x x x x x? ? ? ， ? ? 2 2 lnf x x x? ? ? ? ， 0x? ． 令 ? ? 2 2 lnh x x x? ? ? ，則 ? ? 1 2 12 xhxxx?? ? ? ?， 0x? ． 令 ? ? 0hx? ? 得 12x?， 當(dāng) 10 2x?? 時(shí)， ? ? 0hx? ? ， ??hx 單調(diào)遞減；當(dāng) 12x?時(shí)， ? ? 0hx? ? ， ??hx 單調(diào)遞增． 所以， ? ?m i n 1 1 2 ln 2 02h x h ??? ? ? ? ?????． 因?yàn)?? ?22e 2e 0h ????， ? ?2 2 ln 2 0h ? ? ?， 2 1e02? ???????， 122??? ??????， 所以在 102??????，和 12????????，上， ??hx 即 ??fx? 各有一個(gè)零點(diǎn)． 設(shè) ??fx? 在 102??????，和 12????????，上的零點(diǎn)分別為 02xx， ，因?yàn)???fx? 在 102??????，上單調(diào)減 ， 所以當(dāng) 00 xx?? 時(shí)， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調(diào)增；當(dāng)0 12xx??時(shí)， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調(diào)減．因此， 0x 是 ??fx的極大值點(diǎn)． 因?yàn)椋???fx? 在 12????????，上單調(diào)增，所以當(dāng)212 xx??時(shí)， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調(diào)減， 2xx? 時(shí)， ??fx單調(diào)增，因此 2x 是 ??fx的極小值點(diǎn)． 所以， ??fx有唯一的極大值點(diǎn) 0x ． 由前面的證明可知，20 1e 2x ????????，則 ? ? ? ?2 4 2 20 e e e ef x f ? ? ? ?? ? ? ?． 因?yàn)?? ?0 0 02 2 ln 0f x x x? ? ? ? ?，所以 00ln 2 2xx??，則 又 ? ? ? ?220 0 0 0 0 0 022f x x x x x x x? ? ? ? ? ?，因?yàn)? 10 2x??，所以 ? ?0 14fx?． 因此， ? ?20 1e 4fx? ??． 22． 【解析】⑴設(shè) ? ? ? ?00MP? ? ? ?， ， ， 則 0 ||O M O P????， ． 000016cos 4?????????????? 解得 4cos??? ，化為直角坐標(biāo)系方程為 ? ?2 224xy? ? ? ． ? ?0x? ⑵連接 AC ，易知 AOC△ 為正三角形 ． ||OA 為定值 ． ∴當(dāng)高最大時(shí)， AOBS△ 面積最大， 如圖，過(guò)圓心 C 作 AO 垂線，交 AO 于 H 點(diǎn) 交圓 C 于 B 點(diǎn)， 此時(shí) AOBS△ 最大 m ax 1 | | | |2S AO H B? ? ? ?1 | | | | | |2 A O H C B C?? 32?? 23． 【解析】⑴由柯西不等式得： ? ? ? ? ? ? ? ?2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b? ? ? ? ? ?≥ ?? 當(dāng)且僅當(dāng) 55ab ba? ，即 1ab?? 時(shí)取等號(hào) ． ⑵ ∵ 332ab?? ∴ ? ?? ?22 2a b a ab b? ? ? ? ∴ ? ? ? ?2 32a b b a b???? ? ? ??? ∴ ? ? ? ?3 32a b ab a b? ? ? ? ∴ ? ?? ?3 23ab abab???? 由均值不等式可得： ? ?? ?3 2232ab ababab?? ???? ??? ??≤ ∴ ? ?? ?3 2232ab abab?? ?????? ??≤ ∴ ? ? ? ?33 324abab ??? ≤ ∴ ? ?31 24 ab? ≤ ∴ 2ab? ≤ 當(dāng)且僅當(dāng) 1ab?? 時(shí)等號(hào)成立 ． 。第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 絕密★啟用前 2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： ，考生 先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi) 。第 17~21 題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作
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