【正文】 象限． ( 2) 點 P 到 x 軸的距離與到直線 l ： y ＝ 3 x 的距離相等，則點 P 的軌跡方程是 ( ) A ． x － 3 y ＝ 0 B ． x ＋ 3 y ＝ 0 或 3 x ＋ y ＝ 0 C ． x － 3 y ＝ 0 或 3 x ＋ y ＝ 0 D ． x ＋ 3 y ＝ 0 或 3 x － y ＝ 0 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 思考流程 ( 1) 分析：解出交點坐標，結合 k 的范圍再分析；推理：判定交點橫縱坐標的正負；結論：得到所在象限． ( 2) 分析：利用求軌跡的思想方法；推理：利用兩個距離 相等得到 P 點坐標之間關系式；結論：化簡所得關系式即為軌跡方程． 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 [ 解析 ] ( 1) 方法一：解方程組?????kx － y ＝ k － 1 ，ky － x ＝ 2 k得交點坐標為????????kk － 1，2 k － 1k － 1. 因為 0 k 12，所以kk － 10 ，2 k － 1k － 10 ，所以交點在第二象限． 方法二：特值 法． 取 k ＝13，易得交點為??????－12，12，所以交點在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) 二 ( 2 ) C 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 ( 2) 方法一：設點 P ( x ， y ) ，依題意有 | y |＝| 3 x － y |（ 3 ）2＋ 1，化簡得 x － 3 y ＝ 0 或 3 x ＋ y ＝ 0. 故選 C. 方法二：因為直線 l 的傾斜角為 60 176。 或 120 176。 ( 3 ) ①√ ②√ ③√ ④√ ( 4 ) √ 返回目錄 雙向固基礎 第 43講 兩直線的位置關系 2 ． 距離公式的應用 ( 1) 點 P (1 ， a ) 到直線 x － y ＋ a ＝ 0 的 距離是22. ( ) ( 2) 兩平行直線 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 ， 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 間的距離是 0.( ) 返回目錄 雙向固基礎 第 43講 兩直線的位置關系 [ 解析 ] ( 1) 點 P (1 ， a ) 到直線 x － y ＋ a ＝ 0 的距離為 d ＝|1 － a ＋ a |2＝22. ( 2) 把直線 2 x － y ＋ 1 ＝ 0 化為 4 x － 2 y ＋ 2 ＝ 0 ，則兩直線間距離為 d ＝|1 － 2|16 ＋ 4＝12 5＝510. [ 答案 ] ( 1 ) √ (2 ) 179。 ， α ] ∪ [ β ， 180 176。 | PB |的最小值及此時直線 l 的方程． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 解： 由條件知，直線 l 斜率 k 必存在． 設直線 l 方程為 y － 1 ＝ k ( x － 2) ，顯然 k 0 ， 當 x ＝ 0 時， y ＝ 1 － 2 k ； y ＝ 0 時， x ＝ 2 －1k， 所以 A ， B 兩點的坐標分別為 A??????2 －1k， 0 ， B (0 ， 1 －2 k ) ． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 1) | OA |＋ | OB |＝ (1 － 2 k ) ＋??????2 －1k ＝ 3 ＋??????－1k＋ ( － 2 k ) ≥ 3 ＋ 2??????－1k ，直線垂直于 x 軸． ② 傾斜角和斜率的變 化關系，請結合 y ＝ ta n x ，x ∈??????0 ，π2∪??????π2， π 的圖象考慮． ③ 公式 k ＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1( x1≠ x2) 中的坐標與兩點的順序無關，當 x1＝ x2， y1≠ y2時，直線的傾斜角為 90 176。 天津卷改編 ] 經(jīng)過定點 A (0 ， b ) 的直線都可以用方程 y ＝ kx ＋ b 表示． ( ) ( 3) 不經(jīng)過原點的直線都可以用xa＋yb＝ 1 表示． ( ) ( 4) [ 2020 . ( ) ( 4) 若三點 A (2 ， 3) ， B ( a ， 1) ， C (0 ， 2) 共線，則 a的值為－ 2 . ( ) 返回目錄 雙向固基礎 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] ( 1) 直線的傾斜角的范圍是 [0 176。修改后再點擊右鍵、“切換域代碼”，即可退出編輯狀態(tài)。 ， 180176。 的直線沒有斜率． ( 3) ta n α ＝ k ＝b － aa － b＝－ 1 ，所以 α ＝ 135 176。 ( 3 ) 179。12＝34. ? 探究點二 直線方程的求法 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 2 ( 1) 直線 l 在 y 軸上的截距為－ 1 ，傾斜角是直線 l1： 3 x＋ 4 y － 1 ＝ 0 的傾斜角的一半，則直線 l 的方程為 ( ) A ． 3 x － y ＋ 1 ＝ 0 B ． 3 x ＋ y － 1 ＝ 0 C ． 3 x － y － 1 ＝ 0 D ． 3 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ( 2) 直線 l 過點 A ( － 2 ， 4) ，分別交 x 軸、 y 軸于 B ， C 兩點，且滿足 BA→＝12AC→，則直線 l 的方程為 ( ) A ． 4 x － y ＋ 12 ＝ 0 B ． 4 x ＋ y ＋ 12 ＝ 0 C ． x － 4 y ＋ 12 ＝ 0 D ． x ＋ 4 y ＋ 12 ＝ 0 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 思考流程 ( 1) 分析：設直線 l 方程為斜截式；推理：根據(jù)題意求出直線的斜率和在 y 軸上的截距；結論：代入直線的斜截式方程可得． ( 2) 分析：設直線 l 方程為截距式；推理：由向量關系求出橫截距和縱截距；結論：代入直線的截距式可得． 返回目錄 點面講考向 第 42講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A [ 解析 ] 設直線 l 的斜率為 k ，傾斜角為 α ， 設直線 l1的傾斜角為 β ，則 ta n β ＝－34，且 β ＝ 2 α . 由 ta n β ＝ ta n 2 α ＝2ta n α1 － ta n2α＝－34，得 ta n α ＝－13或 3. 若 ta n α ＝－13，則 90 176。 （ 0 － 2 ）2＋（ 1 － 2 k － 1 ）2 ＝ 2??????1 ＋1k2 178。 k2＝－ 1. ( ) ③ 若 l1∥ l2，則 k1＝ k2且 b1≠ b2. ( ) ④ 若 l1與 l2重合，則 k1＝ k2且 b1＝ b2. ( ) ( 4) 已知 l1： ax ＋ 3 y － 2 ＝ 0 ， l2： 2 x ＋ by ＋ 1 ＝ 0 相交，則 a ， b 應滿足的條件是 ab ≠ 6.( ) 返回目錄 雙向固基礎 第 43講 兩直線的位置關系 [ 解析 ] ( 1) 兩題都錯在沒有注意斜率不存在的情況． ( 2) ① 兩直線斜率相等，而在 y 軸上的截距不等，所以兩直線平行； ② 正確的是 Bx － Ay ＋ C ′＝ 0.( 3) 依題意，兩直線的斜率都存在，根據(jù)兩直線關系的條件和結論可以判斷這四個命題都正確． ( 4) l 1 和 l 2 相交應滿足的條件是 a ??????－2m＝－ 1 ，無解．故選 A. [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 歸納總結 解決兩直線的平行或垂直的問題，主要利用兩直線平行或垂直的充要條件，如果出現(xiàn)斜率不存在的情況，則要單獨討論，或結合圖形 研究． 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 變式題 ( 1 ) 若直線 l1： ax ＋ 4 y － 20 ＝ 0 與 l2： x ＋ ay － b＝ 0 重合，則正數(shù) a ， b 的值分別是 ________ ． ( 2) [ 2020y12＋ 21 ＝ 0 ，解得 x1＝－ 6 ， y1＝－ 8 ， 所以 P1( － 6 ，－ 8) ，故選 D. [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) C 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 ( 2) 設點 Q ′( a ， b ) 是直線 l 上任意一點，點 Q ′( a ， b ) 關于點A ( － 1 ，－ 2) 的對稱點為 Q ( x ， y ) ， 則??????? a ＋ x2＝－ 1 ，b ＋ y2＝－ 2 ，解得?????a ＝－ 2 － x ，b ＝－ 4 － y . 因為點 Q ′( a ， b ) 在直線 l 上， 所以 2( － 2 － x ) － 3( － 4 － y ) ＋ 1 ＝ 0 ， 化簡得 2 x － 3 y － 9 ＝ 0. 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 歸納總結 ① 解決點關于直線對稱問題要把握兩點：點M 與點 N 關于直線 l 對稱，則線段 MN 的中點在直線 l 上，直線 l與直線 MN 垂直． ② 如果是直線或點關于點成中心對稱問題，則只需 運用中點公式就可解決問題． ③ 若直線 l1， l2關于直線 l 對稱，則有如下性質： ( i ) 若直線l1與 l2相交，則交點在直線 l 上； ( ii ) 若點 B 在直線 l1上，則其關于直線 l 的對稱點 B ′在直線 l2上． 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 變式題 求直線 l1： 3 x ＋ y ＝ 0 關于直線 l ： x － y ＋ 4 ＝ 0對稱的直線 l2的方程． 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 解： 方法一：解方程組?????3 x ＋ y ＝ 0 ，x － y ＋ 4 ＝ 0 ，得直線 l1與 l 的交點坐標 A ( － 1 ， 3) ． 在直線 l1上任取一點 B (1 ，－ 3) ，設點 B 關于直線 l 對稱的點為 B ′( x ， y ) ，則線段 BB ′的中點????????x ＋ 12，y － 32在直線 l 上，且直線 BB ′與直線 l 垂直， 所以??????? x ＋ 12－y － 32＋ 4 ＝ 0 ，y ＋ 3x － 1＝－ 1 ，解得?????x ＝－ 7 ，y ＝ 5 ，即 B ′( － 7 ，5) ． 返回目錄 點面講考向 第 43講 兩直線的位置關系 又直線 l2過 A ( － 1 ， 3) 和 B ′( － 7 ， 5) 兩點， 由兩點式方程，得y － 35 － 3＝x ＋ 1－ 7 ＋ 1， 即 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0. 方法二：設 M ( x0， y0) 是直線 l1上任意一點，它關于直線l 的對稱點為 N ( x ， y ) ， 則線段 MN 的中點坐標為????????x ＋