第2章-23-232拋物線的幾何性質(zhì)(更新版)
【正文】 p 0 ) x2＝ 2 py ( p 0 ) x2＝－ 2 py ( p 0 ) 圖形 頂點(diǎn) ( 0 , 0 ) 對(duì)稱軸 軸 軸 x y 焦點(diǎn) 準(zhǔn)線 離心率 e ＝ 1 開口 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下 范圍 F (p2， 0) F (－p2 ， 0) F (0 ，p2 ) F (0 ，－p2 ) x＝－ p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 直線與拋物線的位置關(guān)系 【問題導(dǎo)思】 1 ．直線與拋物線有哪幾種位置關(guān)系？ 【提示】 三種：相離、相切、相交． 2 ．若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線一定相切嗎？ 【提示】 不一定，當(dāng)平行或重合于拋物線的對(duì)稱軸的直線與拋物線相交時(shí)，也只有一個(gè)交點(diǎn)． 直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點(diǎn) 位置關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 相交 有 或 公共點(diǎn) 相切 公共點(diǎn) 相離 公共點(diǎn) 兩個(gè) 一個(gè) 有且只有一個(gè) 無 拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用 如圖 2 － 3 － 3 所示，已知拋物線 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦點(diǎn)為 F ， A 圖 2 － 3 － 3 是拋物線上的一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為 4 ，且在 x 軸的上方，點(diǎn) A 到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于 5 ，過 A 作 AB ⊥ y 軸，垂足為 B ， OB 的中點(diǎn)為 M . ( 1 ) 求拋物線的方程； ( 2 ) 過 M 作 MN ⊥ FA ，垂足為 N ，求直線 MN 的方程． 【思路探究】 ( 1 ) 根據(jù)題意你能求出 p 的值嗎？ ( 2 ) M 點(diǎn)的坐標(biāo) 是多少？直線 MN 的斜率呢？ 【自主解答】 ( 1 ) 拋物線 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) 的準(zhǔn)線為 x ＝－p2， 于是 4 ＋p2＝ 5 ， p ＝ 2 ， ∴ 拋物線的方程為 y2＝ 4 x . ( 2 ) 由題意知 A ( 4 , 4 ) ， B ( 0 , 4 ) ， M ( 0 , 2 ) ， F ( 1 , 0 ) ， ∴ kFA＝43. 又 MN ⊥ FA ， ∴ kMN＝－34， 則直線 FA 的方程為 y ＝43( x － 1) ， 直線 MN 的方程為 y － 2 ＝－34x ，即 3 x ＋ 4 y － 8 ＝ 0. 研究拋物線的性質(zhì)時(shí)要注意它們之間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱，離心率不變總為 1. 已知拋物線的焦點(diǎn) F 在 x 軸上，直線 l 過 F 且垂直于 x 軸， l與拋物線交于 A ， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 △ O A B 的面積等于 4 ，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】 由題意，拋物線方程為 y2＝ 2 px ( p ≠ 0) ，焦點(diǎn) F????????p2， 0 ，直線 l ： x ＝p2， ∴ A 、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)為????????p2， p ，????????p2，－ p ， ∴ | AB |＝ 2| p |. ∵△ O AB 的面積為 4 ， ∴126 x C ． x2＝ 177。 d ＝12 4 6 3 22＝ 6 3 . 所以當(dāng) C 點(diǎn)為 (1 ，－ 2) 時(shí)， S △ ABC 的最大值為 6 3 .
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