第2章-23-232拋物線的幾何性質(zhì)(存儲版)
【正文】 【自主解答】 當拋物線焦點在 x 軸正半軸上時， 可設拋物線標準方程是 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) ， 則焦點 F (p2， 0) ，直線 l 為 y ＝ x －p2. 設直線 l 與拋物線的交點為 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，過 A ， B 分別向拋物線的準線作垂線 AA1， BB1，垂足分別為 A1， B1. 則 | AB |＝ | AF |＋ | BF |＝ | AA1|＋ | BB1| ＝????????x1＋p2＋????????x2＋p2＝ x1＋ x2＋ p ＝ 6 ， ∴ x1＋ x2＝ 6 － p . ① 由????? y ＝ x －p2y2＝ 2 px ，消去 y ，得????????x －p22＝ 2 px ， 即 x2－ 3 px ＋p24＝ 0. ∴ x1＋ x2＝ 3 p ，代入 ① 式得 3 p ＝ 6 － p ， ∴ p ＝32. ∴ 所求拋物線標準方程是 y2＝ 3 x . 當拋物線焦點在 x 軸負半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標準方程是 y2＝－ 3 x . 1 ． 本題是通過拋物線的性質(zhì)求其方程的典型例題，拋物線的方程有兩種形式，解答時切勿漏掉． 2 ．過焦點 F 和拋物線相交的弦叫做拋物線的焦點弦，在解決與焦點弦有關的問題時，一是注意用焦點弦所在的直線方程和拋物線方程聯(lián)立得方程組，再結合根與系數(shù)關系解題，二是注意拋物線定義的靈活運用，特別應注意整體代入的方法． 本例中，若把直線的傾斜角改為 1 3 5 176。12 2＝ 177。 1 2 y . 【答案】 C 3 ．拋物線 y ＝ ax 2 的準線方程是 y ＝－ 12 ，則 a ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】 拋物線方程可化為 x 2 ＝ 1a y ，由題意 14 a ＝ 12 ， ∴ a ＝ 12 . 【答案】 12 4 ．若拋物線 y 2 ＝ x 上一點 P 到準線的距離等于它到頂點的距離，求點 P 的坐標． 【解】 根據(jù)題意可知： | PF |＝ | PO |，其中 O 為原點， F 為焦點， ∴ x P ＝x F2＝18， ∴ y P ＝ 177。 2 | p |＝ 4 ， ∴ p ＝ 177。 ，被拋物線截得的弦長改為 8 ，其他條件不變，試求拋物線的方程． 【解】 如圖，依題意當拋物線方程設為 y2＝ 2 px ( p ＞ 0) 時， 拋物線的準線為 l ，則直線方程為 y ＝－ x ＋12p . 設直線交拋物線于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則由拋物線定義得 | AB |＝ | AF |＋ | FB |＝ | AC |＋ | BD |＝ x1＋p2＋ x2＋p2， 即 x1＋p2＋ x2＋p2＝ 8. ① 又 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) 是拋物線和直線的交點， 由????? y ＝－ x ＋12py2＝ 2 px ，消去 y 得 x2－ 3 px ＋p24＝ 0. 于是 x1＋ x2＝ 3 p . 將其代入 ① 得 p ＝ 2. 故所求拋物線方程為 y2＝ 4 x . 當拋物線方程設為 y2＝－ 2 px ( p ＞ 0) 時，同理可求得拋物線方程為 y2＝－ 4 x . 綜上所述，拋物線的方程為 y2＝ 4 x 或 y2
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