【正文】 對于手部坐標(biāo)系位姿的齊次變換矩陣，它描述了受控制的工具端點； 0Cbase(t) 為描述物體位姿的工作坐標(biāo)系相對于機座坐標(biāo)系的齊次變換矩陣； basePobj 為描述末端執(zhí)行器相對于工作坐標(biāo)系預(yù)定抓取物體的位姿的齊次變換矩陣。矩陣函數(shù) 表示操作機手部在 時刻的預(yù)定位置。 (2) 面向關(guān)節(jié)空間的方法 。在這種系統(tǒng)中，作業(yè)通常是用操作機手部 (或末端執(zhí)行器 )必須通過的笛卡爾結(jié)點序列給定的。給定了初始點和終止點的位置、速度和加速度，第一段軌跡和末段軌跡的多項式 h1 (t) 和 hn (t) 就完全確定了。 但是，在前面的討論中只有四個插值點，即初始點、提升點、下放點和終止點。 對于末段軌跡，把歸一化時間 t 由 [1， 0]重新變回 [0, 1]，可求出 hn(t) 32 434 關(guān)節(jié)軌跡多項式 33 34 353 關(guān)節(jié)軌跡多項式 35 三 次樣條軌跡 （ 五段三次多項式 ） 用一組三次多項式插補給定的函數(shù)并保證插補點處一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的方法，稱為三次樣條函數(shù)法。在每段軌跡中 關(guān)節(jié)變量 的多項式用歸一化時間表示為 : 19 這些關(guān)節(jié)軌跡分段多項式所應(yīng)滿足的邊界條件為 : 20 4— 3— 4關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件如圖示。最后一段由下放點到終止點的軌跡由四次多項式表示。 (b) 軌跡的中間點或中間段：時間由各關(guān)節(jié)的最大速度和加速度決定 ， 將使用這些時間中的一個最長時間 (即用最低速關(guān)節(jié)確定的最長時間來歸一化 )。 若沿支承面的法線方向從初始點向外給定一個離開位置(提升點 )，并要求手 (即手部坐標(biāo)系的原點 )經(jīng)過此位置，這種離開運動就是允許的。 關(guān)節(jié)插值軌跡 11 若某關(guān)節(jié) (例如關(guān)節(jié) i )的關(guān)節(jié)軌跡使用 p 個多項式，則要滿足初始和終止條件 (關(guān)節(jié)位置、速度和加速度 )，并保證這些變量在多項式銜接處的連續(xù)性，因而需要確定 3( p十 1)個系數(shù)。 由于面向笛卡爾空間的方法有前述鐘種缺點，使得面向關(guān)節(jié)空間的方法被廣泛采用。 8 ? 面向笛卡爾空間方法的優(yōu)點是概念直觀，而且沿預(yù)定直線路徑可達到相當(dāng)?shù)臏蚀_性。 7 在第一種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進行。 路徑約束 動力學(xué)約束 路徑設(shè)定 軌跡規(guī)劃器 機器人軌跡規(guī)劃的一般性問題 由初始點運動到終止點，所經(jīng)過的由中間形態(tài)序列構(gòu)成的空間曲線稱為 路徑。為了進行這種變換，任務(wù)規(guī)劃程序必須 包含 被操作物體、任務(wù)環(huán)境、機器人執(zhí)行的任務(wù)、環(huán)境的 初 始狀態(tài)和所要求的最終 (目標(biāo) )狀態(tài)等描述。 與一般問題求解相比 ， 自動規(guī)劃更注重于問題的求解過程 ， 而不是求解結(jié)果 。 因此 ，最終得到的規(guī)劃是某個問題求解算符的線性或分部排序 ， 但是由算符來實現(xiàn)的目標(biāo)常常具有分層結(jié)構(gòu) 。? 第七章 機器人的軌跡規(guī)劃 機器人規(guī)劃的定義和作用 概述 機器人學(xué)中的一個基本問題是為解決某個預(yù)定的任務(wù)而規(guī)劃機器人的動作 ， 然后在機器人執(zhí)行完成那些動作所需的命令時控制它 。 大多數(shù)規(guī)劃具有很大的子規(guī)劃結(jié)構(gòu) ， 規(guī)劃中的每個目標(biāo)可以由達到此目標(biāo)的比較詳細的子規(guī)劃所代替 。 自動規(guī)劃是一種重要的問題求解技術(shù) ， 它從某個特定的問題狀態(tài)出發(fā) ， 尋求一系列行為動作 ， 并建立一個操作序列 ， 直到求得目標(biāo)狀態(tài)為止 。任務(wù)規(guī)劃程序 則 把任務(wù)級的說明變換成操作機級的說明。 軌跡規(guī)劃問題通常是將軌跡規(guī)劃器看成“黑箱”，接受表示路徑約束的輸入變量，輸出為起點和終點之間按時間排列的操作機中間形態(tài)（位姿 , 速度和加速度）序列。在這種方法中，路徑約束是在笛卡爾坐標(biāo)中給定的。在笛卡爾空間規(guī)劃中，要規(guī)劃操作機手部位置、速度和加速度的時間函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)手部信息導(dǎo)出。 伴隨的缺點是難于確定運動中各桿件和手的位置，但是，為 了避開軌跡上的障礙．常常又要求知道一些桿件和手位置。第一，必須便于用迭代方式計算軌跡設(shè)定點；第二，必須求出并明確給定中間位置；第三，必須保證關(guān)節(jié)變量及其前二階時間導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，使得規(guī)劃的關(guān)節(jié)軌跡是光滑的；最后，必須減少額外的運動 (例如，“游移” )。否則，手可能與支承面相碰。 時間的考慮 (a) 軌跡的初始段和終止段：時間由手接近和離開支承表面的速率決定；也是由關(guān)節(jié)電機特性決定的某個常數(shù) 。第二段 (或中間段）由提升點到下放點的軌跡用三次多項式表示。 ? ?0,1t? 0t?1t?18 定義下列變量： 軌跡是由多項式序列 hi(t)構(gòu)成的，這些多項式合起來形成關(guān)節(jié) j 的軌跡。 ( 1, 2 , , )in? ???31 同樣，我們可用此方法可計算 3— 5— 3 關(guān)節(jié)軌跡。 每段關(guān)節(jié)軌跡的五段三次多項式的通式為 其中 36 在 應(yīng)用五段三次多項式插值時，需要有五段軌跡和六個插值點。 38 這些多項式對實際時間的一階和二階導(dǎo)數(shù)為： 式中， tj 是通過第 j 段軌跡所需的實際時間。 42 對于較復(fù)雜的機器人系統(tǒng)，為了控制操作機完成作業(yè)而設(shè)計了編程語言。 所得到的軌跡是分段直線 。 t t t??()H t ?ftt?? ?()Q H t ?Ht 這里，除了需要計算每一控制間隔中操作機手部軌跡函數(shù) 外，還需把笛卡爾位置變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量 。第一個轉(zhuǎn)動是繞單位矢量 k 進行的，把工具或末端執(zhí)行器的軸線調(diào)整到預(yù)定的接近方向；而第二個轉(zhuǎn)動則繞工具軸調(diào)整工具的方向。這樣，從運動坐標(biāo)系觀察，工具是靜止的。第一個轉(zhuǎn)動使工具軸與預(yù)定的接近方向?qū)?，第二個轉(zhuǎn)動使工具軸與方向矢量對準。若在時間 τ 和 τ 之間，每一變量的加速度保持為常數(shù)。 [解 ] 令 Pi 為操作機手部必須經(jīng)過的笛卡爾結(jié)點 i =0, 1, 2, 3, 4,