高二數(shù)學(xué)命題的四種形式(更新版)
【正文】 ＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0的解集非空 ， 則 a≥1”的逆否命題的真假 ． 例 4【 思路點(diǎn)撥 】 【 解 】 法一：原命題的逆否命題： 已知 a， x為實(shí)數(shù) ， 若 a＜ 1， 則關(guān)于 x的不等式 x2＋(2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤ 0的解集為空集 ． 判斷其真假如下： 拋物線 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2開口向上 ， 判別式 Δ＝ (2a＋ 1)2－ 4(a2＋ 2)＝ 4a－ 7. 因?yàn)?a1， 所以 4a－ 70. 即拋物線 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2與 x軸無(wú)交點(diǎn) ． 所以關(guān)于 x的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤ 0的解集為空集 ． 故原命題的逆否命題為真 ． 法二： 先判斷原命題的真假： 因?yàn)?a ， x 為實(shí)數(shù)，且關(guān)于 x 的不等式 x2＋ ( 2 a ＋ 1 ) x＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集非空， 所以 Δ ＝ ( 2 a ＋ 1 )2－ 4 ( a2＋ 2 ) ≥ 0 ，即 4 a － 7 ≥ 0 ， 解得 a ≥74.因?yàn)?a ≥74， 所以 a ≥ 1 ，所以原命題為真 ． 又因?yàn)樵}與其逆否命題等價(jià)， 所以逆否命題為真 ． 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 命題的問(wèn)題可以和其他很多知識(shí)相結(jié)合 ， 例如本題就是一道有關(guān)集合 ， 不等式的解集 ， 二次函數(shù)的圖象 ， 四種命題的關(guān)系的綜合題 ． 要求對(duì)這幾方面的內(nèi)容非常熟練 ， 且要有一定的分析推理能力 ， 通過(guò)一題多解 ， 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的能力 ． 1．四種命題的理解 (1)原命題：它是相對(duì)其他三種命題而言人為指定的命題，不是固定不變的，可以把任意一個(gè)命題看成原命題，進(jìn)而研究它的其他形式． (2)逆命題，把原命題的條件作為結(jié)論，而原命題的結(jié)論作為條件，得到的命題稱為原命題的逆命題． (3)否命題：將原命題中的條件和結(jié)論同時(shí)加以否定后得到的命題稱為原命題的否命題． 方法感悟 (4)逆否命題：將原命題的條件加以否定，作為結(jié)論，而原命題的結(jié)論加以否定作為條件得到的新命題稱為原命題的逆否命題． 2．四種命題的真假判斷 (1)原命題為真，它的逆命題可以為真，也可以為假． (2)原命題為真，它的否命題可以為真，也可以為假． (3)原命題為真，它的逆否命題一定為真． (4)互為逆否的命題同真同假，同一個(gè)命題的逆命題和否命題是一對(duì)互為逆否的命題，所以它們同真同假． 綜合上述四條可知，在同一個(gè)命題的四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)要么是 0，要么是 2，要么是 4.
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