甘肅省蘭州20xx-20xx屆高二數(shù)學下學期期中試題理(更新版)
【正文】 由 (Ⅱ )知，2ln() xhx x?在 1[ , e]e 上是增函數(shù)，在 2[ e,e] 上是減函數(shù) . 且 21( ) eeh ??， 1( e)2eh ?， 242(e ) eh ? 當421e 2ek?≤時，函數(shù) ()gx在 21[ ,e]e 上有 2個零點 ?? 10分 所以 k的取值范圍421e 2ek?≤. 20.(本小題滿分 12分 ) 解 ： 由題設得， g(x)＝ x1＋ x(x≥0) ． (1) 由已知， g1(x)＝ x1＋ x， g2(x)＝ g(g1(x))＝x1＋ x1＋ x1＋ x＝ x1＋ 2x， g3(x)＝ x1＋ 3x， ? ， 可猜想 gn(x)＝ x1＋ nx. 下面用數(shù)學歸納法證明． ① 當 n＝ 1時， g1(x)＝ x1＋ x，結論成立． ② 假設 n＝ k時結論成立， 即 gk(x)＝ x1＋ kx. 那么，當 n＝ k＋ 1時， gk＋ 1(x)＝ g(gk(x)) ＝ gk x1＋ gk x＝x1＋ kx1＋ x1＋ kx＝ x1＋ k＋ x，即結論成立． 由 ①② 可知，結論對 n∈ N*成立． ????? 3分 (2)已知 f(x)≥ ag(x)恒成立， 即 ln(1＋ x)≥ ax1＋ x恒成立． 設 φ (x)＝ ln(1＋ x)－ ax1＋ x(x≥0) ， 則 φ ′( x)＝ 11＋ x－ a＋ x 2＝ x＋ 1－ a＋ x 2， 當 a≤1 時， φ ′( x)≥0( 僅當 x＝ 0， a＝ 1時等號成立 )， ∴ φ (x)在 [0，＋ ∞) 上單調(diào)遞增． 又 φ (0)＝ 0， ∴ φ (x)≥0 在 [0，＋ ∞) 上恒成立， ∴ a≤1 時， ln(1＋ x)≥ ax1＋ x恒成立 (僅當 x＝ 0時等號成立 )． 當 a1時，對 x∈(0 ， a－ 1]有 φ ′( x)≤0 ， ∴ φ (x)在 (0， a－ 1]上單調(diào)遞減 ， ∴ φ (a－ 1)φ (0)＝ 0. 即 a1時，存在 x0，使 φ (x)0， ∴l(xiāng)n(1 ＋ x)≥ ax1＋ x不恒成立， 綜上可知， a的取值范圍是 (－ ∞ ， 1]． ????? 6分 (3)由題設知 g(1)＋ g(2)＋ ? ＋ g(n)＝ 12＋ 23＋ ? ＋ nn＋ 1， n－ f(n)＝ n－ ln(n＋ 1)， 比較結果為 g(1)＋ g(2)＋ ? ＋ g(n)n－ ln(n＋ 1)． 證明如下：上述不等式等價于 12＋ 13＋ ? ＋ 1n＋ 1ln(n＋ 1)， 法一 :下面用數(shù)學歸納法證明． ① 當 n＝ 1時， 12ln 2，結論成立． ② 假設當 n＝ k時結論成立，即 12＋ 13＋ ? ＋ 1k＋ 1ln(k＋ 1)． 那么，當 n＝ k＋ 1時， 12＋ 13＋ ? ＋ 1k＋ 1＋ 1k＋ 2ln(k＋ 1)＋ 1k＋ 2ln(k＋ 1)＋ lnk＋ 2k＋ 1＝ ln(k＋ 2)，即結論成立．由 ①② 可知，結論對 n∈ N*成立． ????? 10分 法二 : 在 (2)中取 a＝ 1，可得 ln(1＋ x) x1＋ x， x0. 令 x＝ 1n， n∈ N*，則 1n＋ 1lnn＋ 1n ，各項放縮即可 ．
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