定積分的概念存在條件與性質(zhì)(更新版)
【正文】 值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 在 ] ,[ ba 上以 連續(xù)曲線 )( xfy ? 為曲邊的 曲邊梯 形面積等于以區(qū)間 ] ,[ ba 長度為底， ] ,[ ba 中 ? 一點 的函數(shù)值為高的矩形面積 . 積分中值定理的幾何解釋 ： )( xfy?)(?fa b? xoy).()()d( abfxxfba ??? ?即 ,d)(1)( ??? ba xxfabf ?使 1 1 3 3 0 0 d d .x x x x???故（ 1 ） xx d1 0 3? 與 xx d1 0 3? ；（ 2 ） xx d1 0 ? 與 xx d)ln ( 11 0 ? ? . （ 2 ）令 )1l n ()( xxxf ??? ， ],1,0[?? x 有 0111 1)( ???????xxxxf ， 因此 )( xf 在 ]1 ,0[ 上單調(diào)增加，有 0)0()( ?? fxf ， 即 0)1l n ( ??? xx )1l n ( xx ??? . 解 ：（ 1 ） ],1,0[?? x 33 xx ?有 ， : .2 大小比較下列各對積分值的例 1 1 0 0 d l n (1 ) d .x x x x????故∵ 1)0( ?f ， 41)21(ef ? ， 2)2( ef ? ， 證 ：設(shè) xxxf ?? 2e)( ，則 ]2 ,0[)( Cxf ? . ∴ 上的在 ]2 ,0[ )( xf 最大值 2eM ? ，最小值 41em ? ， 2 2 2244 021 ( 2 0) e d ( 2 0) 2 .xx x e eee?? ? ? ? ? ??:由估值定理得,21 ,0)12()( 2 ????? ? xexxf xx 得駐點令.2de2 .4 22 0 42exexx ?? ? ?證明不等式例 分析 ： 從最后結(jié)果來看，要用 R o l le 定理，但前面還 出現(xiàn)了積分號，作為第一步，應(yīng)該用積分中值定理 . ∵ ] ,0[)( cCxf ? ，在 ) ,0( c 內(nèi)可導(dǎo)，且 )()0( cff ? ， ∴由 R o l l e 定理知， ]1 ,0[) ,0( ???? c ，使 0)( ???f . 證 ： ∵ ]1 ,0[)( Cxf ? ，從而 ]1 ,32 [)( Cxf ? ， 例 5 ．設(shè) )( xf 在 ]1 ,0[ 上連續(xù)，在 )1 ,0( 內(nèi)可導(dǎo)，且 )0(d)(3132 fxxf ??，證明： )1 ,0( ??? ，使 0)( ???f . ∴由 積分中值定理知， ]1 ,32[ ?? c ，使 ),()32 1()(3d)(3)0(132 cfcfxxff ????? ?作 業(yè) 習(xí) 題 （ P26） 2（ 1）； 3； 7； 8（ 3）； 9（ 2）（ 3）； 10
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