大學(xué)文科數(shù)學(xué)-張國楚-定積分(更新版)
【正文】 函數(shù)為 A(x ),由于 A(x ) 的連續(xù)性 ,當(dāng) dx 很小時 ,以底面積為 A(x ), 高為 dx 的薄柱體體積就是體積微元 dV=A（ x） dx. ? 它是薄片的體積 △ V 的近似值 ,即△ V ≈dV=A(x)dx .dxxAV ba?? ）（從而有 例 3 求橢圓 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的橢球的體積 V. 12222 ?? byax),( 22222 xaaby ??.34322203222022222222abxxaabdxxaabdxxaabVaaaa??????????? ???）（）（）（.34 3RV ??解 由橢圓方程 則 得 當(dāng) a=b=R時 ,得半徑為 R的球體體積公式 —— 變力作功 設(shè)物體在變力 y=f(x) 作用下 ,沿 x 軸正向從點 a移動到點 b ,求它所作的功 [a,b]上任取相鄰兩點 x和 x+dx,則力 f(x)所作的微功為 dW=f(x)dx, ?? ba dxxfW .）（于是得 ).(2 8 02 06 JdxxW ????? ?例 4 根據(jù)虎克定律 ,彈簧的彈力與形變的長度成正比 .已知汽車車廂下的減震彈簧壓縮 1cm 需力 14000N,求彈簧壓縮 2cm 時所作的功 . 解 由題意 ,彈簧的彈力為 f（ x） =kx ( k 為比例常數(shù) ),當(dāng) x= m時 f()=k = 10000N, 由此知 k=14000000, 故彈力為 f(x)=1400000x. 于是 即彈簧壓縮 2cm時所作的功為 280J. 作業(yè) ? 必作題 習(xí)題六第七題、第八題第一小題。 思考題 定積分的換元積分法中應(yīng)注意的事項？ 微積分的基本定理主要解決了定積分的什么問題？ 定義：設(shè)函數(shù) f(x)定義在無窮區(qū)間 [a,+∞]上，且在任何有限區(qū)間 [a， A] 上可積，如果存在極限 則稱此極限 J為函數(shù) f（ x）在 [a,+∞] 上的無窮限反常積分，簡稱無窮限積分，記作 J= 167。 定理 3 （對積分區(qū)間的可加性）有界函數(shù) f（ x） 在 [a， c]、 [c， b] 上都可積的充要條件是 f（ x） 在[a， b] 上可積，且 定理 2 若 f（ x）、 g（ x） 在 [a， b] 上可積，則 f（ x） 177。 2計算定積分的一般方法 —— 微積分基本定理 167。 （二）教學(xué)重點 教學(xué)重點：定積分的概念和性質(zhì)、微積分基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法、定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用。對于一般函數(shù) f（ x）而言，定積分 S的值則是曲線在 x 軸上方部分的正面積與下方部分的負面積的代數(shù)和。若 f（ x） ≤ g（ x） , 則 ][ bax ，?dxxgdxxf baba ?? ? ）（）（ 定理 6（定積分的絕對值不等式） 若 f（ x）在 [a， b]上可積，則 在 [a， b]上也可積，且 ）（ xfdxxfdxxf baba ?? ? ）（）（））（（）（ abfdxxfba ??? ?定理 7（積分中值定理）若函數(shù) f（ x）在 [a， b]上連續(xù)，則在 [a， b]上至少存在一點 ，使得 ?作業(yè) 必作題： 用定積分的定義計算 選作題： 習(xí)題 6第一題。 思考題 檢查下面計算過程對不對？為什么？請給出正確解法。他對有關(guān)二項式定理系數(shù)的恒等式也進行了深入研究，曾取各家級數(shù)論之長，歸納出以他的名字命名的 “ 李善蘭恒等式 ”
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