向量共線問題證明共線問題常用方法(更新版)
【正文】 P A M,5?? 平面向量的應(yīng)用 平面向量兩個方面的應(yīng)用 (1)在平面幾何中的應(yīng)用 . 向量的加法運算和全等、平行，數(shù)乘向量和相似，距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系，因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題 . (2)在物理中的應(yīng)用 . 主要解決力、位移、速度等問題 . 【 例 7】 已知正方形 ABCD,E、 F分別是 CD、 AD的中點， BE、 CF交于點 P. 求證：（ 1） BE⊥CF ；（ 2） AP=AB. 【 審題指導(dǎo) 】 本題欲求證線段 垂直和相等，可轉(zhuǎn)化為向量的垂直和向量的模相等問題 .已知正方形 ABCD，可建系設(shè)點，把向量用坐標(biāo)表示出來，用向量的有關(guān)知識解決 . 【 規(guī)范解答 】 如圖建立平面直角坐標(biāo)系 xOy，其中 A為原點，不妨設(shè) AB=2， 則 A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1). (1) =(1,2)(2,0)=(1,2)， =(0,1)(2,2)=(2,1)， =1 (2)+2 (1)=0， 即 BE⊥CF. B E O E O B??CF O F O C??BE CF?BE CF?? ，（ 2）設(shè) P(x,y)，則 =（ x,y1） , =(2,1)， ∴ x=2(y1)，即 x=2y2. 同理由 ，得 y=2x+4,代入 x=2y2. FP CFFP CF，BP BE6 8 6 8x y P ( , ) .5 5 5 5? ? ?解 得 ， ， 即222268A P ( ) ( ) 4 A B55? ? ? ? ? ，A P A B A P A B .? ? ?， 即【 例 8】 如圖所示，求兩個力 的合力 的大?。ň_到 N）和 方向（精確到分） . 【 審題指導(dǎo) 】 題中給出兩個力的大小 及夾角的數(shù)值，欲求合力，可利用向量的加法運算，在三角形中解決 . 12FF、F【 規(guī)范解答 】 設(shè) =(a1,a2), =(b1,b2), 則 a1=300cos30176。 ， ∠ AOB=120176。 . (1)求 。 =， b1=200cos45176。 (3)向量 與 (4)向量 與 存在不全為零的實數(shù) λ 1,λ 2，使 a b a 0)?、（ ? b a。 53′. 所以兩個力的合力是 N，與 x軸的正方向的夾角為67176。 . 解得 n=6.∴ =(2,6). a b a bbbc c a a? 與 c2 2 2a 1 2 5 , b n 4 ,? ? ? ? ?｜ ｜ ｜ ｜ab?25 n 4??b(2)∵ 與 同向， ∴ 可設(shè) (λ ＞ 0). 則 =(2λ,6λ), =(2λ 1,6λ 2). ∴ 2λ 1+(6λ 2) 2=0， 解得 λ= . ∴ =(1,3). bc cb??c ca?? ?c a a,??12c則 =|3(cosα,sinα)+5(cosβ,sinβ)| 2 =|(3cosα+5cosβ,3sinα+5sinβ)| 2 =(3cosα+5cosβ) 2+(3sinα+5sinβ) 2 =34+30(cosαcosβ+sinαsinβ)=34+30 ＝ 54. 23a 5b|?｜233 a 5b | 5 4 3 6 .? ? ? ?｜
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