數(shù)學奧賽輔導-第二講-整-除(更新版)
【正文】 】設其中為質數(shù)，為非負整數(shù)，則 因此只需證明 2 =2上式關于對稱，則不妨設，于是上式變?yōu)椋捍耸斤@然成立，故得證.例7：設和是兩個正整數(shù)，為大于或等于3的質數(shù)，），試證：（1）；（2）或（1985新加坡數(shù)學競賽試題） 【證明】由已知得，兩式相乘得于是故（1），則有因，則，從而于是是、的一個公約數(shù)，這與=1矛盾，故.（2）因為所以而為質數(shù)且，故或例8：設，求最大公約數(shù)（第26屆IMO預選題）【解】能過具體計算可猜想 此式不難用數(shù)學歸納法獲證. 為求，對分奇偶來討論. （1）當時， 由于 和互質，所以而當時 時， （2）當當時與質，所以而當時，時， 例9：盒子中各若干個球，：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進行有限次加球后使各盒中球數(shù)相等的充要條件是 （第26屆IMO預選題） 【證明】設，則有使得，此式說明：對盒子連續(xù)加球次，可使個盒子各增加了個，于是經(jīng)過次加球之后，原來球數(shù)最多的盒子中的球與球數(shù)最少的盒子中的球數(shù)之差減少1，因此，經(jīng)過有限次加球后，各盒球數(shù)差為0，達到各盒中的球數(shù)相等. ，則只要在個盒中放個球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時個盒中共有球（個），因為所以不可能是的倍數(shù)，更不是的倍數(shù)，各盒中的球決不能一樣多，因此，必須. 例10：求所有這樣的自然數(shù)，使得是一個自然數(shù)的平方.（1980年第6屆全俄數(shù)學競賽試題） 【證明】（1）當時，因（…）為奇數(shù)，所以要使N為平方數(shù)，N都不是平方數(shù). （2）當時，不是平方數(shù). （3）當時，要N為平方數(shù)，應為奇數(shù)的平方，不妨假設=,則由于和是一奇一偶，左邊為2的冪，因而只能=1，于是得，由知為所求.1
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