【正文】 mnnmyp????????稱其為第一自由度為 m， 第二自由度為 n的 F— 分布 記為 F(m,n) 一 .數(shù)學(xué)期望的定義 數(shù)學(xué)期望 —— 描述隨機(jī)變量取值的平均特征 若 X~p(x), ?x?,當(dāng) ? ???? .)()( dxxxpXE??? ??? dxxpx )(||為 X的 數(shù)學(xué)期望 。)(yyyFyp YY當(dāng) y ≤ 0時(shí) 0)( ?yFY當(dāng) 0y ≤ 1時(shí) ；當(dāng) y1時(shí) 1)( ?yFY 例 2:設(shè) X的概率密度為 pX(x),y=g(x)關(guān)于 x處處可導(dǎo)且是 x的嚴(yán)格單減函數(shù)，求 Y=g(X)的概率密度。 故二維正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布。 (2)歸一性： ???????－－。 ),( 2??N???? XY推論：若 X～ ， 則 )()()(??????? xxXPxF),( 2??N 例 X~N(1,22), 求 P{X}=? 例 X?N(?,?2),求 P{?3?X?+3?} 本題結(jié)果稱為 3? 原則 .在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為 P{|X ? |≤3} ≈1 ， 忽略 {|X ? |3}的值 . 例 3. 一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ (100,152),某儀器上裝有 3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的 .求：使用的最初 90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率 . 定義： 設(shè) (X, Y)是二維隨機(jī)變量， (x, y)?R2, 則稱 F(x,y)=P{Xx, Yy} 為 (X, Y)的 分布函數(shù) ， 或 X與 Y的聯(lián)合分布函數(shù)。記作 X~U(a, b) 對(duì)任意實(shí)數(shù) c, d (acdb)， 都有 例 10分、 25分、 55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過 10分鐘的概率 例 5：設(shè) K在 （ 0， 5） 上服從均勻分布 ，求方程 有實(shí)根的概率 。 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 一、分布函數(shù)的概念 定義 : 設(shè) X是 隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 事件{Xx}的概率 P{Xx}稱為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) 。0 a babcddxabdxxpdXcPdcdc ????? ? ? ＝＝＝1)(}{)(xpx則稱 X在 (a, b)內(nèi)服從 均勻分布。 (P504附表 3)如，若 Z~N（ 0， 1） ,?（ )=, P{Z}=?()?() = (3) ?(x)＝ 1－ ?(－ x)； （ 4）若 X～ ， 則 ～ N（ 0， 1）。 例 (X,Y)的分布函數(shù)為 定義 對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X, Y)， 若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) P (x, y)， 使對(duì) ?(x, y)?R2， 其分布函數(shù) ? ??? ???x yd u d vvupyxF ,),(),(則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， P(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù) (概率密度 )，或 X與 Y的 聯(lián)合密度函數(shù)，可記為 (X, Y)～ P(x, y)， (x, y)?R2 二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) (1)非負(fù)性 ： P (x, y)?0, (x, y)?R2。 ????? ???其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxPDGSSGYXP ?? }},{( 易見，若（ X， Y） 在區(qū)域 D上 (內(nèi) ) 服從均勻分布，對(duì) D內(nèi)任意區(qū)域 G， 有 4. 兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布 其中， ? ?2為實(shí)數(shù)， ?? | ? |1，則稱 (X, Y) 服從參數(shù)為 ?1, ?2, ?1, ?2, ?的二維正態(tài)分布，可記為 ),(~),( 222121 ?????NYX(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機(jī)變量 (X, Y)的密度函數(shù)為 ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212 ????????????????????????yyxxeyxP結(jié)論： N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊際密度函數(shù) PX(x)是N(?1, ?12)的密度函數(shù)，而 PY(Y)是 N(?2, ?22)的密度函數(shù)。 ? ?? ? ? ?dxxpyXPyYPyFxxgyxxpyxXYX???????????????????2)()()(0112122其它解： ?ydxyFyyY ?? ?? 21)(????? ????其它01021)(39。 ? ??? 0 .),( dyyyzyp? ?? 0 ),()( dyyyzypzp Z三、統(tǒng)計(jì)學(xué)上的幾個(gè)常用分布 分布 2?若 X的密度函數(shù)為 ?????????????0,00,)2(21)(2122xxexnxpxnn則稱 X服從自由度為 n的 分布 . 2?).(~),1,0(~,).1( 21221 nXNXXniiiidn ?? ???則定理：設(shè) ?(2)可加性 :若 X～ (n),Y～ (m),X,Y獨(dú)立，則X+Y～ (n+m)。 例 6： 設(shè)隨機(jī)變量 nXX ,...,1相互獨(dú)立，且均服從 ),( 2??N 分布，求隨機(jī)變量 ???niiXnX11的數(shù)學(xué)期望 答 : 答 : ?????niiXEnXE1)(1)(227)14()32()( ???? ZEYXEUE 若 E(X),E(X2)存在，則稱 E[XE(X)]2 為 . X的 方差 ，記為 D(X),或 Var(X). dxxPEXxXD )(][)( 2? ??? ??)()( XDX ??稱 為 標(biāo)準(zhǔn)差 易見，若 X~p(x)分布，則 二 .方差 D(X)=E(X2)[E(X)]2. 例 1：設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 ???????????101011)(xxxxxp1)求 D(X), 2)求 )( 2XD 若 ，則對(duì)任意 ??0，有 這就是著名的 契貝曉夫 (Chebyshev)不等式。 2) COV(X,X)=D(X)。 EXYXEE ?}){(3