【微積分】函數(shù)的極值及其求法(更新版)
【正文】 . 判別法 第一充分條件 。 (B) 取得極小值 。 (D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 . 提示 : 0)(4)( 00 ????? xfxfA 3. 設(shè) 4. 設(shè) f ( x )連續(xù)，且 f ( a )是 f ( x )的極值， 問 f 2( a )是否是 f 2( x )的極值 . 證 則 ),()( afxf ?時(shí)，有使當(dāng) ),(,0 ?? aUx ????),()( 22 afxf ?得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值 。 (注意使用條件 ) 思考與練習(xí) 1. 設(shè) ,1)()()(l i m2 ????? axafxfax 則在點(diǎn) a 處 ( ). )()( xfA 的導(dǎo)數(shù)存在 , ；且 0)( ?? af)()( xfB 取得極大值 。 ,2)0( af ????2) ?aiii 時(shí) , ,s i n)( xxxf ???? ,0)0( ???f例 6 ,c oss i n)( xxxxf ?????? ,0)0( ????f,s i nc o sc o s)()4( xxxxxf ???? ,02)0()4( ???ff (0) 為 f (x)的極大值 . 函數(shù)圖形的描繪 步驟 : 1. 確定函數(shù) 的定義域 , 期性 。 又 ,0)1()1( ??????? ff故需用極值的第一充分條件來判別 . 1 xy1?例 5. 求函數(shù) ,0)( 0)( ?xf n則 1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) , n2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) , n為極值點(diǎn) , 且 不是極值點(diǎn) , ?????? ?))(()()( 000 xxxfxfxf nnxxn xf )(! )( 00)(?))(( 0 nxxo ??證 定理 4 設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有 n 階導(dǎo)數(shù)，且 則 在點(diǎn) 取極大值 。 ),( 0 ?xUx ?? )(xf ? )(xf0x(3) 若 時(shí) , 的符號(hào)相同 , 則 在點(diǎn) 處 無極值 . xyo xyo0x 0x????求極值的步驟 : ( 1 ) ( ) , ( )。0)( ?? xf時(shí)，當(dāng) 2?x .0)( ?? xf.)(1)2( 的極大值為 xff ??.)( 在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù) xfM的極值 . 解 ??? 32)( xxf 3132)1( ??? xx35235xx ???得駐點(diǎn) 。 則 在點(diǎn) 取極小值 . 同理可證， 2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) , n 可證 在 點(diǎn)鄰近兩 側(cè)異號(hào) , 故 在點(diǎn) 不取極值 。 5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 . 為 0 和不存在 的點(diǎn) 。 (B) 可導(dǎo) , 且
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