【正文】 b??, 則 (A) ( ) 0 ( )g a f b?? (B) ( ) 0 ( )f b g a?? (C) 0 ( ) ( )g a f b?? (D) ( ) ( ) 0f b g a?? 34 2020 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 (天津卷 ) 文 科 數(shù) 學(xué) 第 Ⅱ 卷 注意事項(xiàng)： 1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上 . 2. 本卷共 12 小題 , 共 110 分 . 二．填空題 : 本大題共 6 小題 , 每小題 5 分 , 共 30 分 . (9) i 是虛數(shù)單位 . 復(fù)數(shù) (3 + i)(1－ 2i) = . (10) 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上 . 若球的體積為 92?, 則正方體的棱長為 . (11) 已知拋物線 2 8y x? 的準(zhǔn)線過雙曲線 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一個(gè)焦點(diǎn) , 且雙曲線的離心率為 2, 則該雙曲線的方程為 . (12) 在平行四邊形 ABCD 中 , AD = 1, 60BAD ???, E 為 CD 的中點(diǎn) . 若 212() x xfx e??，令 39。 (Ⅱ ) 若 1 1, 0a q??, 且對(duì)所有正整數(shù) n, 有 11 nn qS q?? ?. 判斷 {}na 是否為等比數(shù)列 . 18. (本小題滿分 12 分 ) 如圖 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 為底面中心 , A1O⊥平面 ABCD, 1 2AB AA? ? . OD 1B 1C 1DACBA 1 (Ⅰ ) 證明 : A1BD // 平面 CD1B1。 nnnnnnnnnn qqqqqqqqSSaqqSNn ?????????????????? ???? 1111111 1111* ， *211 11 Nnqanq na nnnn ?????? ??? ?? ，. 所以 , }{ na數(shù)列 是首項(xiàng) 11?a ,公比 1?q 的等比數(shù)列。 從 B 組 100 人中抽取 6 人，即從 50 人中抽取 3 人，從 100 人中抽取 6 人，從 100 人中抽取9 人。 (Ⅱ ) 過 點(diǎn) P(0,3)的直線 m 與軌跡 C 交于 A, B 兩點(diǎn) . 若 A 是 PB 的中點(diǎn) , 求直線 m 的斜率 . 21. (本小題滿分 14 分 ) 已知函數(shù) ( ) e ,xf x x? ?R. (Ⅰ ) 求 f(x)的反函數(shù)的圖象上 圖象上 點(diǎn) (1,0)處的切線方程 。1( , ) , ( ) 0 ,2x f x? ? ? ? 函 數(shù) 單 調(diào) 遞 增 ； 39。 (Ⅱ ) 證明 13 *)61 (n nSnS? ??N. (20) (本小 題滿分 14 分 ) 設(shè) [ 2,0]a?? , 已知函數(shù) 332( 5 ) , 03 ,0(,).2xf a x xax x x xx a? ? ??? ? ??????? 36 (Ⅰ ) 證明 ()fx在區(qū)間 (－ 1,1)內(nèi)單調(diào)遞減 , 在區(qū)間 (1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增 。 (Ⅱ ) 在該樣品的一等品中 , 隨機(jī)抽取 2 件產(chǎn)品 , (⒈ ) 用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果 。對(duì) i1， 2，? nl，該數(shù)列前 i 項(xiàng)的最大值記為 Ai，后 ni 項(xiàng)ai+1， ai+2，?， an 的最小值記為 Bi， di=niBi. （ Ⅰ ）設(shè)數(shù)列 {an}為 3， 4， 7， 1，寫出 d1， d2， d3 的值 . （ Ⅱ ）設(shè) a1， a2，?， an（ n≥ 4）是公比大于 1 的等比數(shù)列，且 a1＞ ： d1， d2，?dn1 是等比數(shù)列。 （ 15）（本小題共 13分） 已知函數(shù) f（ x） =（ 2cos2x1） sin2x= cos4x. （ 1） 求 f（ x）的最小正周期及最大值 （ 2） （ 2）若α ∈ （ ，π）且 f（α） = ，求α的值 (16)(本小題共 13 分 ) 下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機(jī)選擇 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到達(dá)該市，并停留 2 天。每小題 5 分，共 40 分。 （ 21）（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) 2() xf x x e?? 。 （ Ⅰ ）求 {}na 的通項(xiàng)公式 ； （ Ⅱ ） 求 1 4 7 3 2+ na a a a ?? ? ????； （ 18） 如圖，直三棱柱 1 1 1ABC A BC? 中， D ， E 分別是 AB ， 1BB 的中點(diǎn)。 （ 14）已知正方形 ABCD 的邊長為 2 ， E 為 CD 的中點(diǎn)，則 AE BD??_______。( ) 0fx? 【答案】 C 【解析】 若 0c? 則有 (0) 0f ? ，所以 A 正確。 已知集合 { | 3 1}M x x? ? ? ?， { 3, 2, 1, 0,1}N ? ? ? ? ，則 MN? （ ） （ A） { 2, 1,0,1}?? （ B） { 3, 2, 1,0}? ? ? （ C） { 2, 1,0}?? （ D） { 3, 2, 1}? ? ? 【答案】 C 【解析】 因?yàn)?{ 3 1}M x x? ? ? ?， { 3, 2, 1, 0,1}N ? ? ? ? ,所以 MN{ 2, 1,0}? ? ? ，選C. 21 i ??（ ） （ A） 22 （ B） 2 （ C） 2 （ D） 1 【答案】 C 【解析】 2 2 (1 ) 2 (1 ) 11 (1 ) (1 ) 2ii ii i i??? ? ? ?? ? ?，所以 2 21 i ??，選 C. 設(shè) ,xy滿足約束條件 1 0,1 0,3,xyxyx? ? ???? ? ?????，則 23z x y??的最小值是（ ） （ A） 7? （ B） 6? （ C） 5? （ D） 3? 【答案】 B 【解析】 由 z=2x3y 得 3y=2xz，即 233zyx??。 （ Ⅰ ）證明： DB DC? ； （ Ⅱ ）設(shè)圓的半徑為 1， 3BC? ，延長 CE 交 AB 于點(diǎn) F ，求 BCF? 外接 圓的半徑。 C 1B 1A A1BC 8 （ 20）（本小題滿分共 12 分） 已知函數(shù) 2( ) ( ) 4xf x e a x b x x? ? ? ?，曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (0, (0))f 處切線方程為44yx??。 （ 13）已知兩個(gè)單位向量 a ， b 的夾角為 60 ， (1 )? ? ?c ta t b，若 0??bc ，則 t? _____。每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。 （ 16） 設(shè)當(dāng) x ?? 時(shí)，函數(shù) ( ) sin 2 co sf x x x??取得最大值，則 cos?? ______. 三 .解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 。 （ Ⅰ ）求 C 的 方程； （ Ⅱ ） l 是與圓 P ， 圓 M 都相切的一條直線， l 與曲線 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)，當(dāng)圓 P 的半徑最長是，求 ||AB 。 11 （ 24）（本小題滿分 10 分）選修 4—5：不等式選講 已知函數(shù) ( ) | 2 1 | | 2 |f x x x a? ? ? ?， ( ) 3g x x??。又12 63 23P F P F c a? ? ?，所以 1333ca ??，即橢圓的離心率為 33 ，選 D. 已知 2sin2 3?? ，則 2cos ( )4????（ ） （ A） 16 （ B） 13 （ C） 12 （ D） 23 【答案】 A 【解析】 因?yàn)?2 1 c o s 2 ( ) 1 c o s ( 2 )1 s in 242c o s ( )4 2 2 2??????? ? ? ? ? ?? ? ? ?，所以2211 s in 2 13c o s ( )4 2 2 6??? ??? ? ? ?，選 A. 執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 4N? ，那么輸出的 S? （ ） （ A） 1111 234? ? ? （ B） 1 1 11 2 3 2 4 3 2? ? ?? ? ? （ C） 1 1 1 11 2345? ? ? ? （ D） 1 1 1 11 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? 【答案】 B 【解析】 第一次循環(huán)， 1, 1, 2T S k? ? ?；第二次循環(huán)， 11, 1 , 322T S k? ? ? ?；第 三 次 循 環(huán) ， 1 1 1, 1 , 42 3 2 2 3T S k? ? ? ? ???， 第 四 次 循 環(huán) ，1 1 1 1, 1 , 52 3 4 2 2 3 2 3 4T S k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 此 時(shí) 滿 足 條 件 輸 出1 1 11 2 2 3 2 3 4S ? ? ? ?? ? ?，選 B. 設(shè) 3log 2a? ， 5log 2b? ， 2log 3c? ，則 （ ） （ A） a c b?? （ B） b c a?? （ C） c b a?? （ D） c a b?? 【答案】 D 【 解析】 因?yàn)? 21log 2 1log 3??，5 21log 2 1log 5??，又 2log 3 1? ，所以 c 最大。選 C. 16 1 若存在正數(shù) x 使 2 ( ) 1x xa??成立 ，則 a 的取 值范圍是 （ ） （ A） ( , )???? （ B） ( 2, )? ?? （ C） (0, )?? （ D） ( 1, )? ?? 【答案】 D 【解析】 因?yàn)?20x? ，所以由 2 ( ) 1x xa??得 1 22 xxxa ?? ? ?，在坐標(biāo)系中，作 出函數(shù)( ) , ( ) 2 xf x x a g x ?? ? ?的圖象，當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) 2 1xgx ???，所以如果存在 0x? ，使2 ( ) 1x xa??，則有 1a??，即 1a?? ，所以選 D. 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考題和選考題，每個(gè)試題考生都必修作答。 【答案】 24? 【解析】 設(shè)正四棱錐的高為 h ，則 21 3 2( 3 )32h??，解得高 322h? 。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。 （ 22）（本小題滿分 10 分）選修 41 幾何證明選講 如圖， CD 為 ABC? 外接圓的切線， AB 的延長線交直線 CD 于點(diǎn)D ， E 、 F 分別為弦 AB 與弦 AC 上的點(diǎn)，且 BC AE DC AF? ? ?，B 、 E 、 F 、 C 四點(diǎn)共圓。 =1 的離心率大于 的充分必要條件是 23 （ A） m＞ （ B） m≥ 1 （ C） m 大于 1 （ D） m＞ 2 (8)如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， P 為對(duì)角線 BD1的三等分點(diǎn)， P 到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有 （ A） 3 個(gè) （ B） 4 個(gè) （ C） 5 個(gè) （ D） 6 個(gè) 第二部分（非選擇題 共 110 分） 二、填空題共 6 題，每小題 5 分，共 30 分。 （ Ⅱ ） BE∥ 平面 PAD （ Ⅲ ）平面 BEF⊥ 平面 PCD. （ 18）（本小題共 13 分） 已知函數(shù) f(x)=x2+xsin x+cos x. （Ⅰ）若曲線 y=f(x)在點(diǎn) (a,f(a))處與直線 y=b 相切，求 a 與 b 的值。如果事件 A, B 互斥 , 那么 ) ( ) ( )( B P APA PB? ? ? (Ⅱ ) 證明平面 A1CD⊥ 平面 A1ABB1。 , {1,2}B? ,則UAB?240。loglog loga c cbab ? (B) 最小正周期 ?? ?? 22T 。 現(xiàn)從抽樣評(píng)委 A 組 3 人 ,B組 6 人中各自任選一人，則這 2 人都支持 1 號(hào)歌手的概率92623