高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法綜合測(cè)試題(更新版)
【正文】 －3，等式成立．②假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由①②得，等式對(duì)任何n∈N*都成立．16．求證：＋＋＋…＋(n≥2)．[證明] ①當(dāng)n＝2時(shí)，左＝0＝右，∴不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式成立．即＋＋…＋成立．那么n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＋…＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝＋＝，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．據(jù)①②可知，不等式對(duì)一切n∈N*且n≥2時(shí)成立．17．在平面內(nèi)有n條直線(xiàn)，其中每?jī)蓷l直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且每三條直線(xiàn)都不相交于同一點(diǎn)．求證：這n條直線(xiàn)將它們所在的平面分成個(gè)區(qū)域．[證明] (1)n＝2時(shí)，兩條直線(xiàn)相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，k條直線(xiàn)將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)其中的一條直線(xiàn)為l，其余k條直線(xiàn)將平面分成塊區(qū)域，直線(xiàn)l與其余k條直線(xiàn)相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k＋1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k＋1塊．從而k＋1條直線(xiàn)將平面分成＋k＋1＝塊區(qū)域．所以n＝k＋1時(shí)命題也成立．由(1)(2)可知，原命題成立．18．(2010k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2(k＋1)2成立．根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N*都成立．由蓮山課件
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