【正文】 ( jeH 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) ?例 41 求下面遞歸濾波器的濾波器形狀，他的傳輸函數(shù)為 ?解 ? 傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻率響應(yīng)，得： 1)(??? zzH????? 1)(jeH 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) ?例 42 遞歸數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為 ?解 ? 傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻率響應(yīng)，得： 1010)(?????zzzH????????101084 9 71 2 6 )(jjeeH 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? ?數(shù)字濾波器得形狀可以不依賴采樣率，但采樣頻率將影響濾波器輸入頻率得范圍。 ? a、用模擬頻率（ Hz）代替數(shù)字頻率（弧度）畫出頻率響應(yīng)曲線 ? b、低通濾波器得帶寬是多少 ? c、若采用頻率變?yōu)?30kHz，則帶寬為多少 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? ?解： ? a、數(shù)字頻率 0~π弧度轉(zhuǎn)換成模擬頻率 0~6kHz（ 1/2采樣頻率）。 。因此濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定。簡(jiǎn)單的一階系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為： ?由于只有一個(gè)極點(diǎn) z=α，穩(wěn)定性要求 lαl1 ?對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)為： ?? ???? ? zzzzH 111)(][)(][ nunh n??? 一階系統(tǒng) ?lαl1時(shí)，脈沖響應(yīng)隨著 n的增加無(wú)限增長(zhǎng)，只要 lαl1，脈沖響應(yīng)就趨與零。 ?解： ? 第一步，計(jì)算輸入與脈沖響應(yīng)的 z變換 111]}1[{)(1???????zzzznuZzX 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 ? 脈沖響應(yīng)的 z變換為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，得傳輸函數(shù)為 : )( ?? zzzH)1)(()()()( ???????? zBzAzzzzXzHzY )( ??? ??? ??zzYA 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 1)(???? zzzY?????? ???? ? )( 1 z zz zzzY]1[]1[)(][ 1 ?????? ? nununy n 1)( 1 ???? ?zzYB 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 ?例 18: ? 求 的逆 z變換 ?解 : ? 其分母已經(jīng)分解為簡(jiǎn)單因子 ,部分分式展開(kāi)式有三項(xiàng) ,分母的每一個(gè)根一項(xiàng) ))(1()(??? zzzzY)( ????? zCzBZAzY 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 65))(10()(0 ????? ?zzYA45)(1)(1 ????? ?zzYB1225)()( ?????? ?zzYC 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 ???????????????????????? ?122514565122514565)( 1zzzzzzzZzY]1[)(1225]1[45]1[65][ 1 ??????? ? nununny n? 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 ?例 19: ? 求 z變換 的時(shí)域 信號(hào) x[n] ?解 : ? 對(duì) X(z)的分母進(jìn)行因式分解得 : zzzX 5)(2 ??)(5)(?? zzzX 部分式展開(kāi)法求逆 z變換 ? 部分式展開(kāi)為 : ? 最后得逆變換為 : ?????? ?????????? ? )( 1 z zzzzz BzAzX]1[)(25]1[25][ 1 ?????? ? nunnx n? 傳輸函數(shù)與穩(wěn)定性 ? 極點(diǎn)與零點(diǎn) ? 極點(diǎn) :傳輸函數(shù) 分母 為零時(shí) z的取值 ? 零點(diǎn) :傳輸函數(shù) 分子 為零時(shí) z的取值 NNMMzazazaazbzbzbbzXzYzH??????????????????2211022110)()()()()()()(01010101MNaazaazzbbzbbzKzHNNNMNMNN????????????? 極點(diǎn)與零點(diǎn) ?例 :20 求傳輸函數(shù) ? 的數(shù)字濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn) ?解 : ? 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 : 2112944)(?????? zzzzH4)(22 ?????? zzzzzzzH 極點(diǎn)與零點(diǎn) ? 用二次公式分解分母多項(xiàng)式 ,得 : ? 因此 : ? 通過(guò)傳輸函數(shù)可以方便得確定極點(diǎn)和零點(diǎn) ,對(duì)此濾波器 ,在 z=0處有一個(gè)零點(diǎn) , ? 兩個(gè)極點(diǎn)分別是 z= z=2 )1(2)()1( 2 或???????z)2)(()( ??? zzzzH 極點(diǎn)與零點(diǎn) ? 標(biāo)準(zhǔn)式傳輸函數(shù)分子分母多項(xiàng)式都可以進(jìn)行分解 ,有 : ? 其中 K稱為濾波器的增益， zj是濾波器的零點(diǎn)， pj是濾波器的極點(diǎn)。 ? H(z)是 h[n]的 z變換 ,也就是說(shuō)傳輸函數(shù)是其脈沖響應(yīng)的 z變換 ][][][][][ nxnhknxkhnyk???? ?????)()()( zXzHzY ? 傳輸函數(shù)和脈沖函數(shù) ?例 310 數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)為 : ? 求此濾波器的傳輸函數(shù) . ?解 :濾波器的傳輸函數(shù)就是脈沖響應(yīng)的 z變換 : ? 注意 :此傳輸函數(shù)得到差分方程 : ]3[]2[]1[][][ ??????? nnnnnh ????321 )( ??? ???? zzzzH]3[]2[]1[][][ ??????? nxnxnxnxny 計(jì)算濾波器輸出 ?在 z域 ,可以用傳輸函數(shù) H(z)計(jì)算系統(tǒng)的輸出 ,由于 H(z)=Y(z)/X(z)有 : ? Y(z)的逆 z變換可以得到信號(hào) y[n]: )()()( zXzHzY ?)}({][ 1 zYZny ?? 逆 Z變換 ? 標(biāo)準(zhǔn)式 )()()()1()1()(010101010101001010MNaazaazzbbzbbzKzaazaaazbbzbbbzHNNNMNMNNNNMM?????????????????????????? 標(biāo)準(zhǔn)式 ?例 311 將下面的傳輸函數(shù)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式 : ?解 : ? 變換標(biāo)準(zhǔn)式的第一步是將所有延遲項(xiàng)的 指數(shù)化為正 。由二次公式可求出極點(diǎn) 40 281 )1(2)18 ()1(428 2jjz????????????? 極點(diǎn)與零點(diǎn) ╳ ╳ ○ (2) 1 0 1 1 0 1 實(shí)部 虛部 極點(diǎn)與零點(diǎn) ?例 22 數(shù)字濾波器的零點(diǎn)為 z= z=,極點(diǎn)為 z=177。 ))((11)(2122221 pzpzzzzzzzzH ????????? ?? ???? 二階系統(tǒng) ?只要兩個(gè)極點(diǎn)都在 z平面單位圓內(nèi)，系統(tǒng)就穩(wěn)定。因而： ?????????????????? ?4232][)(jjjnjneeeenxX 傅立葉變換基礎(chǔ) ?例 30 求信號(hào)的 DTFT ?解： ? 在 n0和 n?3時(shí) ,信號(hào)值都是零 ,所以 ])3[][(4][ ??? nununx??????????????? ?2444][)(jjnjneeenxX 傅立葉變換基礎(chǔ) ?離散時(shí)間傅立葉變換有 2個(gè)重要性質(zhì) ? 時(shí)延特性 ? 周期性 ? 假設(shè)信號(hào) x[n]的 DTFT存在 ,為 X(?),則 x[nn0]的DTFT為 : ????????njnennx ][0 傅立葉變換基礎(chǔ) ? 令 m= nn0,則有 ? 時(shí)域中 n0的延遲在頻域里引入一個(gè)復(fù)指數(shù) ? 第二個(gè)特性是周期性。濾波器的頻率響應(yīng)如圖所示，求其輸出信號(hào) ) os (][ ?nnx ? 幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) ?解： ? 輸入信號(hào)的頻率是 =，在圖中用一實(shí)線表示，在此頻率，濾波其增益為