【正文】 程為 ? 求其頻率響應的表達式 ? 濾波器的脈沖響應為 ? 求其頻率響應的表達式 ]2[]1[][][ ????? nnnnx ???]1[4][]2[3]1[][2 ??????? nxnxnynyny])5[][(2c os][ ????????? nununnh ? 頻率響應和濾波器形狀 ? 濾波器對正弦輸入的作用 ? 濾波器的頻率響應也可以作為用來計算濾波器的輸出 ? 輸出信號通過逆變換得到 : ? 注意 :DTFT方法一般僅用于求正弦輸入時的輸出 ? 濾波器的頻率響應顯示了濾波器在每個頻率上的特性 )()()( ???? XHY)}({][ 1 ?? ? YFny 濾波器對正弦輸入的作用 ?頻率響應 H(?)是一個復數(shù) ,可以用極坐標表示 : ? 其中 是濾波器在數(shù)字頻率 ?處的增益 ? 是同一頻率下濾波器的相位差 )()()( ???? ?jeHH)(?H)(?? 濾波器對正弦輸入的作用 ?由于 H(?)、 X(?)、 Y(?)都是復數(shù) ,采用極坐標表示為 : ?可得 : ))()(()()()()()()()()()()()(??????????????????XXYjjjjeXHeXeHXHeYY?????)()()( ???? XHY)()()( ????? XY ??? 濾波器對正弦輸入的作用 0 Ω0 π θX 數(shù)字頻率 Ω 相移 0 Ω0 π Aπ 數(shù)字頻率 Ω 幅度 幅度頻譜 相位頻譜 對于數(shù)字余弦信號 )c o s (][ 0 XnAnx ???? 濾波器對正弦輸入的作用 0 Ω0 π θ +θX 數(shù)字頻率 Ω 相移 0 Ω0 π HAπ 數(shù)字頻率 Ω 幅度 幅度頻譜 相位頻譜 濾波器對正弦輸入的作用 ? 可簡記為 ?于是 : ?展開得余弦信號 : )c o s (][ 0 XnAnx ???? XA?XX AHAHXHY ???? ??????? ))(()()()()c o s (][ 0 XnHAny ?? ???? 濾波器對正弦輸入的作用 ?例 34 數(shù)字頻率為 ,在此頻率下 ,濾波器增益為 21dB,相位差為 860,如果輸入幅度為 20,相位為 120,則輸出幅度和相位是多少？ ?解 : ? 輸入簡式為 ,這是余弦函數(shù) 的縮寫 . ? 在 .濾波器增益為 21dB,轉(zhuǎn)換為線性值為 ?1220 ) o s (20 ??n0 8 9 2021 ?? 濾波器對正弦輸入的作用 ? 因為相位差為 860,頻率響應的簡式為 . ? 輸出是頻率響應和輸入信號傅立葉變換值的乘積 : ? 可的輸出信號為 : ?860 8 9 ????????? ))(1220()()()( XHY) os (][ ??? nny 幅度響應和相位響應 ?頻率響應包括 :幅度響應和相位響應 ?幅度響應 :所有數(shù)字頻率處增益的集合 ?相位響應 :所有相位差的集合 )()()( ???? ?jeHH 幅度響應和相位響應 ?例 35 一系統(tǒng)的頻率響應為 : ? 求該系統(tǒng)的幅度響應和相位響應 ,并畫出圖 . ? 幅度響應是增益對數(shù)字頻率 (弧度 )的關(guān)系圖 . ? 相位響應是相位 (弧度 )對數(shù)字頻率 (弧度 )的關(guān)系圖 .數(shù)字頻率范圍是 π~3π弧度 . ????? jeH 1)( 幅度響應和相位響應 ?解 : ? 對于 ?=3π/4弧度 ,采用極坐標和非極坐標進行計算 .極坐標計算得 : ? 非極坐標計算得 : )43( 4/3 ??????? ? ?? ?jeH 幅度響應和相位響應 2 8 2 8 11)(1))4/3s i n ()4/3( c o s (11)43(4/3?????????????????????jjjjjjjeHj???? 幅度響應和相位響應 幅度響應和相位響應 ?由上例可知 .幅度響應和相位響應是周期的 ,每2π弧度重復一次 . ?幅度響應是偶函數(shù) : ?相位響應是奇函數(shù) : ?如果增益采用分貝 ,圖象就會改變 )()( ???? HH)()( ????? ?? 幅度響應和相位響應 ?例 36 濾波器的幅度響應和相位響應如下圖所示 ,確定當數(shù)字頻率是下列值時的增益和相位差 : ? a、 2rad ? b、 3rad ?解： ? a、 2rad處的增益大約是 4dB，相位大約 70176。相位差 176。 ? b、對于低通濾波器，它是小于低頻增益 3dB所對應的頻率，此題的這個頻率為 1800Hz ? c、如果采用頻率變?yōu)?30kHz，頻率范圍變?yōu)?0到15kHz，帶寬將變?yōu)?4500Hz 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? ?例 44： 幅度響應如圖所示 ,輸入模擬頻率是 ,求其增益 ? a、 fs=4kHz ? b、 fs=10kHz 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? ?解： ? a、右圖是fs=4kHz的幅度響應曲線 .此濾波器對應 1kHz的輸入信號 ,增益為 0dB或 1 模擬頻率 f與數(shù)字頻率 ? b 、 下圖是fs=10kHz的幅度響應曲線 .此濾波器對應1kHz的輸入信號 ,增益為 63dB或*104 。 幅度響應和相位響應 幅度響應和相位響應 ?例 37 把數(shù)字信號 加到數(shù)字濾波器上。信號 x[n]的 DTFT可記為： ? 由于歐拉恒等式： ?????????njnenxX ][)(]}[{)( nxFX ????? s inc o s je j ?? 傅立葉變換基礎(chǔ) ? 那么： ?例 29 求下圖所示信號的離散時間傅立葉變換 ????? s inc o s)s in ()c o s ( jje j ?????????????????nnjnnxX ))s in ()] ( c o s ([)( 傅立葉變換基礎(chǔ) 0 2 4 6 8 10 2 2 0 4 3 2 1 1 傅立葉變換基礎(chǔ) ?解： ? 只有 4個非零采樣值（ n=0,1,2,4）對變換有貢獻。 ][]1[][ nxnyny ??? ? 一階系統(tǒng) ?穩(wěn)態(tài)時，差分方程為： ?求得： 1?? ssss yy ?)1(1???ssy 一階系統(tǒng) 一階系統(tǒng) ?例 25 濾波器得傳輸函數(shù)為 ? a、求出其極點零點，并判斷穩(wěn)定性 ? b、求出濾波器的脈沖響應 ? c、求出濾波器的階躍響應 ?解： ? a、為了得到極零點，首先將其表示為標準式 2)(??? zzH 一階系統(tǒng) ? 在 z=0處有一個單零點， z=，極點在單位圓內(nèi)，所以濾波器穩(wěn)定 22)(1 ???? ? zzzzH 一階系統(tǒng) ? b 、脈沖輸入的 z變換 X(z)=1則輸出 Y(z)為： ? 由表得逆 z變換為： 2)()()(??? zzzXzHzY][)(2][][ nunhny n???? 一階系統(tǒng) ? c、階躍輸入的 z變換為 X(z)=z/(z1 ) ,輸出為 ? 因此階躍響應為 ?????????????????????????????????????????????????????1710710175752)(2)1)((122)()()(222zzzzzzzzzBzAzzzzzzzzzXzHzY]1[710]1[)(710][][ 1 ???????? ? nununsny n 一階系統(tǒng) ? 此濾波器的差分方程為 :y[n]+[n1]=2x[n], ? 因此輸入階躍函數(shù) x[n]等于 1,故最后的穩(wěn)態(tài)輸出可以由 yss+ =2,得出 4 2 2 ?? 一階系統(tǒng) 二階系統(tǒng) ?簡單得二階系統(tǒng)得傳輸函數(shù)為 :