【正文】 ??????????????????????????????1000s i nc o ss i n0c o ss i nc o s0000110000100010000110000c o ss i n00s i nc o s00001,???????????bbbMMMbYx兩個桿件坐標系的關系 ? 如果兩個坐標系分別固聯(lián)在機器人的兩個桿件上，例如桿件 i1和桿件 i；利用 M矩，我們可把桿件 i上在 i坐標系中的定點 Pi 用桿件 i1坐標系表示為 : Pi1=i1Mi Pi 五、桿件、關節(jié)和它們的參數(shù) ? 操作機由一串用轉動或平移關節(jié)連接的剛體組成 ,每一對關節(jié)一桿件構成一個自由度。 ???????????????1111010000100001M 時 如果桿件動坐標系各軸上的單位矢量繞 Zi軸轉 90176。 ???????????????1000100010001zyxdddM局部和整體比例變化 ? 齊次變換矩陣的主對角線元素形成局部和整體比例變化。 ???????????????c o ss i n0s i nc o s0001,xR三、齊次坐標變換 ? 齊次坐標 在三維空間位置矢量， P=（ Px,Py,Pz） T 中引進了第四個坐標分量，使它變成 : =（ wpx,wpy,wpz,w） T,這樣，我們用齊次坐標表示了位置矢量 ，（這樣，以∧ 符 (即 )表示把一個三維空間矢量寫成齊次坐標的形式。 旋轉矩陣的性質 二 : ? 由于每一行或列代表一個單位矢量，故其模等于 1。 [例 ]試求表示繞 ox軸轉 α 角，然后繞 oz軸轉 θ 角，再繞 oy軸轉 β 角系的合成旋轉矩陣 。 o ir jr iZ iXiY jXjY jZ P P點從 j系變換到 i系的坐標變換 ? 若空間有一點 P，該點在 i系內的坐標為 : 在 j系內的坐標為 : 若以 i系為參考坐標，根據(jù)投影關系， P點從 j系變換到 i系的坐標變換關系為： ? ?Tiiii zyxR ?? ?Tjjjj zyxR ?)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zxzyxyxxxx ???)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zyzyyyxyxy ???)c o s ()c o s ()c o s ( jijjijjiji zzzyzyxzxz ???一般形式的轉動矩陣 ? 這一關系可以用矩陣表示為 ? ? ? ? ? ? jjii rRr ??(1) j坐標系繞 i坐標系的某一軸轉動的方向余弦矩陣 ? ????????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s (jijijijijijijijijijizzyzxzzyyyxyzxyxxxR當兩個坐標系無相對轉動時 ? ? ? ?IR ji ?? ? IRji???????????????????????1000100010c o s90c o s90c o s90c o s0c o s90c o s90c o s90c o s0c o s000000若取 j系為參考系，則 p點從 i系到 j系的坐標變換為 ? 式中 : ? ? ? ?? ?iijj rRr ?? ????????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()c o s (ijijijijijijijijijijzzyzxzzyyyxyzxyxxxR(2) 轉動矩陣為正交陣 ? 由于①式： ③ ? ? ? ? ? ?iijj rRr1?? 比較②③兩式 ： ? ? ? ? ? ? Tjijiij RRR ?? ? 1? ? ? ? Tjiij RR ?得 : 故轉動矩陣為正交陣 三、繞一個坐標旋轉的轉動矩陣 繞 x,y,z坐標軸的旋轉矩陣是最基本的轉動矩陣，它們是一般轉動矩陣的特例，故可直接由一般轉動矩陣得到。機器人工學 第二章 機器人運動學 一、 引言 機器人的操作機可用一個開環(huán)關節(jié)鏈來建模，此鏈由數(shù)個剛體（桿件）被驅動器驅動的轉動或移動關節(jié)串連而成。 X Y Z O o’ X’ Y’ n?Z’ t?b?c=[ ] btn ??? ,二、轉動矩陣的一般形式 ? 設有兩個共原點的右手坐標系和如圖 22，后一坐標系可認為是前一系繞定點 O旋轉而成的。右乘的次序說明連續(xù)繞新的坐標軸轉動，往左乘的次序則表明繞固定參考坐標軸依次轉動。 旋轉矩陣的性質 一 : 旋轉矩陣的每一列向量代表了用參考系坐標軸單位矢量表示的轉動坐標軸單位矢量 ， 而每一行矢量代表了用 ouvw系轉動軸單位向量表示的參考系坐標軸單位矢量 。 ? [解 ]新坐標單位矢量在它們自己的坐標系中 ? iu=(1,0,0)T ? j=(0,1,0)T ? kw=(0,0,1)T X Y Z X X α v w v1 w1 u α α 原系單位矢量在新系中就是 : ix=1iu+0jv+0kw=(1,0,0)T joy=0iu+cosdjvsindkw =(0,cosd,sind)T kz=0iu+sindjv+cosdkw =(0,sind,cosd)T 應用性質 1并把這些矢量看作旋轉矩陣，Rx,d,矩陣即可建立如下，因為在轉動坐標系中表示參考坐標系。例如下列齊次變換矩陣 M使 Ouvw坐標系的原點平移到參考坐標系的（ dx,dy,dz）點而保持坐標軸的平行。 ????????????????????????????? ????????????????????100000100001010010000100000100101000000100100100??zyji MMM如圖所示，有一矢量 P可寫成列矩陣 當動坐標系xiyizi向參考坐標系 xiyizi作齊次坐標變換時，可寫成如下變換矩陣，有： ???????????????????????734zyxpppp????????????????1000701030014100M而坐標系 xjyjzj的原點 Oj在 j坐標系是用（ 0001） T表示，所以 j坐標系原點的位置向量在 xiyizi坐標系中應為 : ?????????????????????????????????173410001000701030014100當 : ? 同樣表示桿件動坐標系與參考坐標系完全重合，齊次變換的第一、二、三列（ 1001） T，（ 0101） T，和（ 0011）T，表示對應軸 xj,yj,zj上的單位矢量在 i系中的坐標分量。 [解 1]繞 ox軸轉 α 角之后 ， oyj軸用參考系（ i）的單位矢量 ix,jy,kz,表示應為 : jrj=cosα jyi+sinα kzi kzj =sinα jyi+ cosα kzi ixj軸與原來不變 比較矩陣 即為矩陣中第二、三列。因此要研究手部相對于機座的幾何關系，必須分析兩相鄰桿件的相互關系，即要先確定桿件坐標系。 桿件坐標系之間的變換矩陣 在用 DH法建立了各桿件坐標系后，即可方便在確定聯(lián)系 i坐標系和 i1坐標系的齊次變換矩陣。 ? 而第二個桿系相對于固定系的位姿可用 M1M2表示，令其等于 T2，即 T2=M1M2。 ???????????? ???10001000000),0,0(),(66666565TTdcsscdMZMM?????七 .反向運動學 ? 在機器人控制及軌跡規(guī)劃中 ， 即在已知手部要達到的空間位置的情況下 ， 如何求出關節(jié)重量 ， 以驅動各關節(jié)的馬達 ，使手部的位置得到滿足 ， 這就是反向運動學問 ， 也稱間接位置求解問 。44 1 8 0?? ??及 ? 實際上可從前面的 (f)式展開式中取第一行第三列 、 第二行第三列 ， 有： 1M21T6=2M3…… 5M6 此時若 θ 5＞ 0，則 : 54z2y1x12 scas)asa(cc ??54x1x1 ssacas ??z2y1x12x1x14 as)asa(ccacas????? 若 θ 5＜ 0， 則 : θ 4=θ 4+180o ? 若 θ 5= 0， 則位姿退化 (即自由度退化 ,θ 4與 θ 5的轉角互換 ) 此時關節(jié) 4與 6的軸 線 重合 . ? 求 θ 5， 采用上述 3M413T6=4M55M6的展開式 ， 取第一行第三列 ， 第二行第三列 ， 有： 5y1x14z2y1x124 s)aca(ss}as)asa(c{cc ????522y1x12 cac)asa(cs ???z2y1x12y1x1422y1x12415 ac)asa(cs)aca(ss}as)asa(c{cc t g???????? 求 θ 6采用下述方程： 4M51 4T6=5M6 展開第一行第二列及第二行第二列，有： c5{c4[c2(c1ox+s1oy)s2oz]+s4[s1ox+c1oy]}+s5[s2(c1ox+s1oy)+c2oz] =s6 s4[c2(c1ox+s1oy)s2oz]+c4(s2oz)+c4(s1ox+c1oy)=c6 ???????????? ??????????????100001000000100001)()(00)()(00)()(6666535352525151csscofnfofnfofnf)oco(sc)o(sc]os)oso(c[cs]oc)oso(c[ss]}oco[ss]os)oso(c[c{cctgtgy1x14z24z2y1x124z2y1x125y1x14z2y1x124516616????????????cs?? 這里求出的全部關節(jié)參數(shù)，就是位 姿 矩 陣的解，由求 θ 1， θ 2， …… ， θ 6的各 關系式中可看出，只在 θ 1， θ 2， d3三 個關系中有 px,py,pz。這樣由前三個關節(jié)角形成四種解 ， 后三個關節(jié)還有倆組解即腕上翹和腕下垂 。4? 39。39。 確定工作空間的方法。 ? 兩式 構成了 yz平面內機器人工作區(qū)域的邊界，如圖中粗實線所