【正文】 2)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。0時(shí), x2x3是高階無窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當(dāng)x174。 解 . 2. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (7)。0時(shí), x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當(dāng)x174。 解 . (11)。 解 . (3)。)內(nèi)無界. 這是因?yàn)镸0, 在(165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.x174。165。x174。165。 時(shí)是無窮小, 所以. (2)因?yàn)?x185。3時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。A(x174。A(x174。165。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3. 要使 |x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要. 取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001. 4. 當(dāng)x174。).習(xí)題13 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。165。), x2k 174。 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使| 91|, 只須e , 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因?yàn)? 所以e0, $N206。 解 當(dāng)n174。 解 當(dāng)n174。1600時(shí), p=75. 當(dāng)100x1600時(shí), p=90(x100)180。x163。x+a163。1得2np163。 解 , , . (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1。 K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 M163。0)。 (5)y=sin xcos x+1。)內(nèi)是單調(diào)增加的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對(duì)于x1, x2206。, 1)。 解 由x+10得函數(shù)的定義域D=(1, +165。2, ). (7) y=arcsin(x3)。 解 由4x20得 |x|2. 函數(shù)的定義域?yàn)?2, 2). (5)。, 1)200。A. 這就證明了f 1(f(A))204。f 1(f(A)), 所以 f 1(f(A))201。Y, A204。X, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因?yàn)閷?duì)于任意的x1185。f(A)199。A且x206。B)=f(A)200。(因?yàn)閤206。B)204。B)C=AC 200。A或x207。B)C=AC 200。B=(165。, 5)200。), A199。B)C219。AC或x206。X, B204。f(A200。f(A)或y206。B)222。f(B)222。X, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對(duì)于每一個(gè)x206。g[ f(x1)]=g[f(x2)] 222。 (2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f 1(f(A))=A . 證明 (1)因?yàn)閤206。f 1(f(A))222。0得. 函數(shù)的定義域?yàn)? (2)。). (3)。). (6) y=tan(x+1)。 解 由3x179。, 0)200。(165。(l, 0), 有f(x1) f(x2), 所以f(x)在(l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱區(qū)間(l, l)上的, 證明: (1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。 解 是周期函數(shù), 周期為. (3)y=1+sin px。 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey12, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex12. (6). 解 由得, 所以的反函數(shù)為. 15. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界. 證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|163。 K2163。x2163。1, 177。1a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)閇a, 1a]. (4) f(x+a)+f(xa)(a0). 解 由0163。(圖137). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖137 解 , 又從得, 所以. 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h0, 確定, 定義域?yàn)? 20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的, 每多訂購1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元. (1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量x的函數(shù)。10002=21000(元). 習(xí)題12 1. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢(shì), 寫出它們的極限: (1)。0, . (3)。0, . (5) xn=n(1)n. 解 當(dāng)n174。Z, 有|xn|163。), 證明: xn174。165。 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x(2)|d時(shí), 有 , 所以. (4). 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)時(shí), 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。0時(shí)極限為零. 證明 因?yàn)? |f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|, 所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e. 因?yàn)閷?duì)e0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時(shí)有 |f(x)0|=||x|0|e, 所以. 6. 求 當(dāng)x174。x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x174。|f(x)A|+|A|1+|A|. 這就是說存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|M, 其中M=1+|A|. 習(xí)題14 1. 兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)x174。0時(shí)為無窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當(dāng)x174。Af(x)174。x0+x174。Af(x)174。x0+e0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0xx0d時(shí), 有恒f(x)M.x174。, +165。+165。 解 . (6)。 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比). 或 . (14)。 解 . (2)。 解 . (10)。 解 (當(dāng)x174。1時(shí), 1x和是同階的無窮小, 而且是等價(jià)無窮小. 3. 證明: 當(dāng)x174。 (3)。 (3) 若a ~b, b~g, . 因此a~g.習(xí)題18 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1)。 解 函數(shù)在點(diǎn)x=kp(k206。 令時(shí), y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0。0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 177。 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習(xí)題19 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(165。 (5)。, +165。(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設(shè)x0為(a, b)內(nèi)任意一點(diǎn). 因?yàn)? , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點(diǎn)a處左連續(xù), 在點(diǎn)b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù). 因?yàn)閒(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)0, 由零點(diǎn)定理, 至少有一點(diǎn)x206。)內(nèi)連續(xù), 且存在, 則f(x)必在(165。), 即f(x)在(165。 (2) f(ln x)。1得1163。1得(n=0, 177。 因?yàn)間(x)163。 (4)。(或x174。的情況進(jìn)行證明. 按漸近線的定義, y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線的充要條件是 . 必要性: 設(shè)y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線, 則, 于是有 222。(x0)存在, 按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限, 指出A表示什么: (1)。 (3)y=x1. 6。=(x1. 6)162。|x=0=1, 故在(0, 1)處的切線方程為 y1=1(x0), 即y=x+1. 13. 在拋物線y=x2上取橫坐標(biāo)為x1=1及x2=3的兩點(diǎn), 作過這兩點(diǎn)的割線, 問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？ 解 y162。(0), 又f 162。(x) . 解 當(dāng)x0時(shí), f(x)=sin x, f 162。(x)=. 18. 證明: 雙曲線xy=a2上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2a2 . 解 由xy=a2得, . 設(shè)(x0, y0)為曲線上任一點(diǎn), 則過該點(diǎn)的切線方程為 . 令y=0, 并注意x0y0=a2, 解得, 為切線在x軸上的距. 令x=0, 并注意x0y0=a2, 解得, 為切線在y軸上的距. 此切線與二坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為 . 習(xí)題 22 1. 推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)162。 (6) y=3excos x 。=(2tan x +sec x1)162。=(3excos x)162。(t)=v0gt. (2)令v(t)=0, 即v0gt=0, 得, 這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 5. 求曲線y=2sin x+x2上橫坐標(biāo)為x=0的點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 因?yàn)閥162。 (8) y=arctan(ex)。=2sin xcos x=sin 2x . (6) . (7) y162。 (6)。 (5)y=sinnxcos nx 。 =n sinn1xcos x cos nx+sinnx(sin nx)n =n sinn1x(cos xcos nxsin xsin nx)= n sinn1xcos(n+1)x . (6). (7) . (8) . (9) . (10) . 9. 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)可導(dǎo), 且f2(x)+g2(x)185。=f 162。(cos2x)]. 11. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=ch(sh x )。 (9)。 (4)。=2sin xcos xsin(x2)+sin2xcos(x2)2x =sin2xsin(x2)+2xsin2xcos(x2). (3). (4). (5). (6). (7) . (8) . (9). (10) .習(xí)題 23 1. 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=2x2+ln x。 (10)。162。=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x . (8), . (9), . (10), . (11), . (12), . 2. 設(shè)f(x)=(x+10)6, f 162。162。= f 162。(x2)=2f 162。162。162。=nxn1+(n1)a1xn2+(n2)a2xn3+ +a