【正文】 (4) . (5). 因?yàn)? , , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(165。 (4)。 (2)。 (6)。 (4)。 (2)。, 3)、(3, 2)、(2, +165。, +165。n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。1, 177。n, , 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無(wú)窮間斷點(diǎn)。1, 177。U(x0)時(shí), f(x)185。時(shí)f(x)0, 從而當(dāng)x206。U(x0)時(shí), f(x)185。 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無(wú)定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因?yàn)椴淮嬖? 所以x=0是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類(lèi)型. 解 . 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)185。Z) 是第一類(lèi)間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。 因?yàn)? (k206。0), 故x=kp(k185。Z)和(k206。2, )。 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn), 并且是可去間斷點(diǎn). 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 177。)內(nèi)連續(xù), 在x=1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷, 說(shuō)明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類(lèi), 如果是可去間斷點(diǎn), 則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2。 解 已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2]內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性. 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(165。 (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a 。 (2) 若a ~b, 則b~a(對(duì)稱(chēng)性)。0), (x174。 (4). 解 (1). (2). (3). (4)因?yàn)? (x174。 (2)(n, m為正整數(shù))。0時(shí), arctanx~x. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。0時(shí), y174。0時(shí), 有: (1) arctan x~x。1時(shí), 1x和1x3是同階的無(wú)窮小, 但不是等價(jià)無(wú)窮小. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。0時(shí), x2x3是高階無(wú)窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當(dāng)x174。時(shí), 是無(wú)窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題 17 1. 當(dāng)x174。0時(shí), x2是無(wú)窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當(dāng)x174。 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . 2. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 . (11)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (7)。 解 . (5)。 解 . (3)。時(shí), 是無(wú)窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題15 1. 計(jì)算下列極限: (1)。0時(shí), x2是無(wú)窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當(dāng)x174。 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . 2. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 . (11)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (7)。 解 . (5)。 解 . (3)。0+ 時(shí), 函數(shù)不是無(wú)窮大. 這是因?yàn)? M0, 對(duì)所有的d0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 習(xí)題15 1. 計(jì)算下列極限: (1)。 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無(wú)窮大. 這是因?yàn)镸0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=0M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無(wú)界, 但這函數(shù)不是當(dāng)x174。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。)內(nèi)無(wú)界. 這是因?yàn)镸0, 在(165。 時(shí)的無(wú)窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(165。)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x174。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.x174。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時(shí), 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.x174。165。+165。165。解f(x)174。x174。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.x174。x0x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. x174。165。+165。165。0時(shí)x為無(wú)窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義, 填寫(xiě)下表:f(x)174。 時(shí)是無(wú)窮小, 所以. (2)因?yàn)?x185。 (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x174。0時(shí)的無(wú)窮大. 問(wèn)x應(yīng)滿(mǎn)足什么條件, 能使|y|104？ 證明 分析, 要使|y|M, 只須, 即. 證明 因?yàn)镸0, $, 使當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。0時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。3時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。 (2)當(dāng)x174。0時(shí), a(x)=2x, b(x)=3x都是無(wú)窮小, 但, 不是無(wú)窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當(dāng)x174。), 則對(duì)于e =1, $X0, 當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。A(x174。165。165。165。A(x174。x0時(shí)左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則e0, $d10, 使當(dāng)x0d1xx0時(shí), 有| f(x)Ae 。A(x174。 $X20, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。165。+165。0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚174。時(shí), , 問(wèn)X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3. 要使 |x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要. 取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001. 4. 當(dāng)x174。4. 問(wèn)d等于多少, 使當(dāng)|x2|d時(shí), |y4|？ 解 由于當(dāng)x174。 分析 因?yàn)? , 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 , 所以. (2). 分析 因?yàn)? . 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)xX時(shí), 有 , 所以. 3. 當(dāng)x174。 分析 因?yàn)? |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。).習(xí)題13 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。a (n174。), 所以e0, $K1, 當(dāng)2k12K11時(shí), 有| x2k1a|e 。a(k 174。165。). 證明 因?yàn)閤2k1174。a(n174。165。), x2k 174。a(k174。M. 又, 所以e0, $N206。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使| 91|, 只須e , 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說(shuō)明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 證明 因?yàn)? 所以e0, $N206。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (2)。165。時(shí), 174。 解 當(dāng)n174。時(shí), 174。 解 當(dāng)n174。時(shí), 174。 解 當(dāng)n174。時(shí), 174。 解 當(dāng)n174。180。1600時(shí), p=75. 當(dāng)100x1600時(shí), p=90(x100)180。x163。 (2)將廠(chǎng)方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù)。 當(dāng)時(shí), 無(wú)解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1a], 當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。x163。xa163。x+a163。x163。x+a163。2 ) . (3) f(x+a)(a0)。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域?yàn)閇2np, (2n+1)p] (n=0, 177。(2n+1)p (n=0, 177。1得2np163。 解 由0163。1得|x|163。 解