【正文】 變換核。除相差常數(shù)因子 1/N 外，反變換核與正變換核是完全相同的。 ?????????????1010)()x(10)()x()1()(1)()1(1),(niiiniiiubbNxubbxfNuHNuxg則 與一維沃爾什變換一樣，正、反變換核相同，但沒有1/N，因此一維哈達(dá)瑪反變換為： ????????10)()x(10)1()()(niii ubbNiuHxf 二維正、反哈達(dá)瑪變換核表示為： ????????????10)]()y()()x([10)]()y()()x([)1(1),()1(1),(nivibibuibibnivibibuibibNvuyxhNvuyxg?????????????????13311331133113311f例 3： 求二維 哈達(dá)瑪變換?？梢娨痪S DCT的逆變換核與正變換核是相同的。對于大多數(shù)自然圖像，離散余弦變換能將大多數(shù)的信息放到較少的系數(shù)上去，提高編碼的效率。二維 DCT定義如下：設(shè) f(x, y)為 M N的數(shù)字圖像矩陣，則 式中 ， a(u)和 a(v)的定義同前 。 離散余弦變換 離散余弦變換 (Discrete Cosine Transform簡稱 DCT)是傅里葉變換的一種特殊情況。 例如， N＝ 2n=8時的變換核和反變換核用矩陣形式表示為 1)1(10*00*01*1)4()1()4()1()4()1()()(101)()(021110201????????????????????niiniubxbniinibbbbbbubxb例， G中元素（ 1）。 ???? 10),()()( NxuxgxfuT),()()( 10uxhuTxf Nu???? 對于二維方陣，正變換和反變換可表示為： ? ?? ???????????10101010),(),(),(),(),(),(NuNvNxNxvuyxhvuTyxfvuyxgyxfvuT g(x,y,u,v)和 h(x,y,u,v)分別稱為正變換核和反變換核。 二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。從 物理效果 看，傅立葉變換是將圖像從 空間域轉(zhuǎn)換到頻率域 ，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。 ????10/21 )(NxNuxjN exf????10/2)(NxNuxjeuF ? 例如：對一維信號 f(x)=[1 0 1 0]進(jìn)行傅立葉變換。 ????????????????????ddyxhfddyxTfddyxfTyxfTyx? ?? ?? ????????????????????),(),()],([),(]),(),([)],([),(g 對一個二維線性位移不變系統(tǒng)來說，如果輸入為f(x,y)，輸出為 g(x,y),系統(tǒng)加于輸入的線性運(yùn)算為 T[.]，則有： 上式表明：線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）的卷積。第三章 圖像變換 圖像變換的目的在于： ① 使圖像處理問題簡化； ② 有利于圖像特征提取； ③ 有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解 。在圖像處理中，它便是點(diǎn)源的響應(yīng)，稱為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。 反變換為 f(x) = 式中 x=0， 1， 2， … ， N1。 ? 從 純粹的數(shù)學(xué)意義 上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。 為提高傅立葉變換算法的速度 ， 從軟件角度來講 ， 要不斷 改進(jìn)算法；另一種途徑為硬件化 ， 它不但體積小且速度快 。 其逆變換關(guān)系式為： 其中 h(x,u)是反變換核。即： ?????????????????10)()x(1010)()x(11)1()()()1(),(niubbNiniubbiniiniuwxfuxh換為：則一維離散沃爾什反變 與以三角函數(shù)項為基礎(chǔ)的傅里葉變換不同，沃爾什變換是由值 +1和 1的基本函數(shù)的級數(shù)展開式構(gòu)成的。 ?????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????000000000000400811111111111111111331133113311331111111111111111141H???????????????11111111111111111f思考：對于均勻分布圖像 經(jīng) Hadamard 變換后圖像，說明什么問題？ 從上面例子中可看出， DHT和和 DWT都滿足變換前后能量守恒，即： 但相比于原圖像數(shù)據(jù)，變換后的系數(shù)矩陣具有能量集中的作用，且數(shù)據(jù)越均勻能量越集中，可用于圖像壓縮。 二維離散余弦變換 考慮到兩個變量，很容易將一維 DCT的定義推廣到二維 DCT。