湖北省夷陵中學(xué)20xx屆高三第一次階段性考試試題數(shù)學(xué)理科(更新版)
【正文】 （ Ⅱ ） ()fx的定義域?yàn)?()a??， ∞ ， 22 2 1() x a xfx xa??? ? ?． 方程 22 2 1 0x ax? ? ?的判別式 248a?? ? ． （ ⅰ ）若 0?? ，即 22a? ? ? ，在 ()fx的定義域內(nèi) ( ) 0fx? ? ，故 ()fx的極值． （ ⅱ ）若 0?? ，則 2a? 或 2a?? ． 若 2a? ， ( 2 )x? ? ?， ∞ ， 2( 2 1)()2xfx x ?? ? ?． 當(dāng) 22x?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ，當(dāng) 222x ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ， ∞時(shí)， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx無(wú)極值． 若 2a?? ， ( 2 )x??， ∞ ， 2( 2 1)( ) 02xfx x ?? ???， ()fx也無(wú)極值． （ ⅲ ）若 0?? ，即 2a? 或 2a?? ，則 22 2 1 0x ax? ? ?有 兩 個(gè) 不 同 的 實(shí) 根21 22aax ? ? ??， 22 22aax ? ? ??． 當(dāng) 2a?? 時(shí)， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 有 ()fx的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故 ()fx無(wú) 極值． 當(dāng) 2a? 時(shí)， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時(shí)， a 的取值范圍為 ( 2 )?， ∞ ． ()fx的極值之和為 2 2 21 2 1 1 2 2 1( ) ( ) l n( ) l n( ) l n 1 1 l n 2 l n22 ef x f x x a x x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 21． （ 1）令 x1＝ x2＝ 0,依條件 （ 3） 可得 f（ 0＋ 0） ≥2f（ 0） ,即 f（ 0） ≤0 又由條件 （ 1） 得 f（ 0） ≥0 故 f（ 0）＝ 0 ???? 3 分 （ 2）任取 0≤x1x2≤1可知 x2－ x1?（ 0,1],則 f（ x2）＝ f[（ x2－ x1）＋ x1]≥f（ x2－ x1）＋ f（ x1） ≥f（ x1） 于是當(dāng) 0≤x≤1時(shí) ,有 f（ x） ≤f（ 1）＝ 1 因此當(dāng) x＝ 1 時(shí) ,f（ x） 取最大值 1． ???? 8 分 （ 3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明 :當(dāng) x? ]21,21(1?nn（ n?N＋ ） 時(shí) ,f（ x） ≤121?n 10 當(dāng) n＝ 1 時(shí) ,x? ]1,21( ， f（ x） ≤f（ 1）＝ 1＝021,不等式成立 ． 當(dāng) n＝ 2 時(shí) ,x ]21,41(? , 21 2x≤1,f（ 2x） ≤1,f（ 2x） ≥f（ x）＋ f（ x）＝ 2f（ x） ∴ f（ x） ≤21 f（ 2x） ≤21 不等式成立 ． 20 假設(shè)當(dāng) n＝ k（ k?N＋ ,k≥2） 時(shí) ,不等式成立 ,即 x? ]21,21(1?kk時(shí)， f（ x） ≤121?k 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí) ,x ]21,21(1 kk??,記 t＝ 2x，則 t＝ 2x? ]21,21(1?kk, ∴ f（ t） ≤121?k 而 f（ t）＝ f（ 2x） ≥2f（ x） ， ∴ f（ x） ≤21 f（ 2x）＝ 21 f（ t） ≤1)1(21??k 因此當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)不等式也成立 ． 由 10,20 知 ,當(dāng) x? ]21,21(1?nn（ n?N＋ ） 時(shí) ,f（ x） ≤121?n 又當(dāng) x? ]21,21( 1?nn（ n?N＋ ） 時(shí) ,2x121?n, 此時(shí) f（ x） 2x． 綜上所述：當(dāng) x? ]21,21( 1?nn（ n?N＋ ） 時(shí) ,有 f（ x） 2x． ???? 14 分 . zxsx.
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