20xx屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷(四)(解析版)(更新版)
【正文】 50（1）判斷是否有99%的把握認(rèn)為居民對降低租賃住房稅費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)?（2）從“認(rèn)為對租賃住房影響大”的居民中，按照年齡進(jìn)行分層抽樣，共抽取8人，分析租賃住房需求，再從中隨機(jī)抽取3人參與座談，若這3人中年齡在40歲以下的有占人，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．臨界值表：【答案】（1）有；（2）分布列見解析，.【分析】（1）據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出，對比臨界值表中數(shù)據(jù)即可.（2）由分層抽樣的特征確定各年齡層抽取的人數(shù)，確定隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出對應(yīng)的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步求解數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意建立列聯(lián)表如下：認(rèn)為對租賃住房影響大認(rèn)為對租賃住房影響不大合計(jì)年齡在40歲以上125150275年齡在40歲以下75150225合計(jì)200300500，所以有99%的把握認(rèn)為居民對降低租賃住房稅費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)．（2）由題意可知，分層抽樣抽取的8人中，年齡在40歲以上的有5人，年齡在40歲以下的有3人，則隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．，所以隨機(jī)變量的分布列為0123．21．已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)，且與軸垂直，為直線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓相交于異于的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)與的面積之差取得最大值時(shí)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離得一個(gè)的關(guān)系式，已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入又得一個(gè)關(guān)系式，兩者聯(lián)立解得，得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，依次求得點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算面積之差，再結(jié)合基本不等式求得最大值．由此可得直線方程．【詳解】（1）由題意知，則直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，即．①又橢圓過點(diǎn)，所以．②聯(lián)立①②，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，直線的方程為．由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解得即，．聯(lián)立消去整理得，解得或．由點(diǎn)異于點(diǎn)可得，所以直線的方程為，令，得，所以，所以與的面積之差為．（利用點(diǎn)的對稱關(guān)系，將面積差問題轉(zhuǎn)化為求）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．（在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊等技巧）故當(dāng)與的面積之差取得最大值時(shí)，直線的方程為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方法：設(shè)直線方程為，直線與直線相交得交點(diǎn)坐標(biāo)，直線與橢圓相交得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得三角形面積（之差），再結(jié)合基本不等式求得最大值，得出結(jié)論．22．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明見解析．【分析】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立，求取最大值即可；（2）對參數(shù)分類討論，通過對函數(shù)求導(dǎo)，分析單調(diào)性再結(jié)合零點(diǎn)定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，即在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時(shí)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由已知得，則．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，而，（在上恒成立）由于，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．又，且，設(shè)，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．而，所以在上恒成立，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，一般需要先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值和最值，即可確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（有時(shí)也需要利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷）第 27 頁 共 27
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