【正文】 （1）∵A（4，0），OA=OB，∴點B的坐標為（0，4），將點B、A的坐標代入拋物線，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）設(shè)直線AB的解析式為，∴，解得：，∴直線AB的解析式為；∵過點D（m，0）（0＜m＜4）作x軸的垂線交直線AB于點C，交拋物線于點E，∴E(m，) ，C（m，m+4）．∴EC==，∵點C是DE的中點，∴，解得：m=2，m=4（舍去）．∴m=2；（3）如圖，由（2）可知D（2，0），在y軸上 取一點M′使得OM′=1，連接AM′，在AM′上取一點D′使得OD′=OD．∵OD′=OD=2，OM′?OB=14=4，∴OD′2=OM′?OB，∴，∵∠BOD′=∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴，∴M′D′=BD′．∴D′A+BD′=D′A+M′D′=AM′，此時D′A+BD′最?。▋牲c間線段最短，A、M′、D′共線時），∴D′A+BD′的最小值=AM′=．15．（2021四川廣安市使點K恰好落在拋物線上？若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）P（﹣1﹣，﹣），Q（﹣1+，）；（3）（1，）或（1，）解：（1）由對稱軸x=1得點B坐標為（﹣2，0），將A、B、C坐標代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）如圖，當x=0時，y=1，∴E（0，1），則CE=1，設(shè)P、Q的橫坐標分別為m、n，∵△CPQ的面積= 1（n﹣m）= ，即n﹣m=2 ，聯(lián)立方程組，整理得：，則：m+n=2﹣4k，mn=﹣4，由（n﹣m）2=（m+n）2﹣4mn得：（2）2=（2﹣4k）2﹣4（﹣4），解得：k=1或k=0（舍去），∴直線PQ的表達式為y=x+1，將k=1代入中，得，解得：x=﹣1177?！唷螩BO=45176?！唷鱋BC∽△BCD∽△PEF，∴符合條件的點的坐標為（0，0），（，0）．又∵AQ=4，AG=3，BC=，∴GQ=1，BG=，∴tan∠GBQ=，即∠GBQ=30176。OC=2，OH=sin60176。P39。）得到△CB39。廣東九年級三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=x2+2x3；（2）△ADE的面積最大值為．（3）點P的坐標為（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4）．解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為y=x2+2x3；（2）設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，∵過點A（3，0），E（0，1），∴，解得：，∴直線AE解析式為y=x+1，如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，延長DG交AE于點F，設(shè)D（m，m2+2m3），則F（m，m+1），∴DF=m22m+3+m+1=m2m+4，∴S△ADE=S△ADF+S△DEF=DFAG+DFOG=DF（AG+OG）=3DF=（m2m+4）=m2m+6=，∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為．（3）∵y=x2+2x3=（x+1）24，∴拋物線對稱軸為直線x=1，設(shè)P（1，n），∵A（3，0），E（0，1），∴AP2=（1+3）2+（n0）2=4+n2，AE2=（0+3）2+（10）2=10，PE2=（0+1）2+（1n）2=（n1）2+1，①若AP=AE，則AP2=AE2，即4+n2=10，解得n=177?！逷M∥y軸，∴∠NHM＝45176。貴州畢節(jié)市OB為菱形OABC的對角線，∴∠AOB=30176。福建三明市=．∴當DG取得最大值時，DE的值最大． 設(shè)直線BC的解析式為∵直線BC經(jīng)過B（3，0），C（0，3）∴解得∴直線BC的解析式為， 設(shè)點D的橫坐標為m， 則，．∴．∴當時，DG的最大值為．∴DE的最大值為．故答案為：．（3）如圖2，過點H作HN⊥x軸于點N．設(shè)直線AC的解析式為∵直線AC經(jīng)過點A（，0），點C（0，3）解得∴．同理得．又∵H為直線AC與直線BD的交點令，得．∴．由A（，0），B（3，0），C（0，3），易求得AB=4，AH=．∴，∴．又∠BAC=∠HAB， ∴△ABC∽△AHB， ∴∠AHB=∠ABC=45176。山東棗莊市重慶巴蜀中學九年級二模）如圖1，已知拋物線與軸交于點、與軸交于點，連接、．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點是直線上方拋物線上一點，過點作軸交于點，過點作于點，當?shù)闹荛L最大時，求出的周長最大值及此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，當 的周長最大時，將點沿射線的方向平移個單位至點，再將線段沿射線方向平移，點、的對應點分別記為點、．在平移過程中，點、是否能構(gòu)成以為腰的等腰三角形，若能，直接寫出點的橫坐標；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）周長最大值為：，此時；（3）能構(gòu)成等腰三角形，點的橫坐標為：或或（1）∵點、在拋物線的圖像上，∴將點A、B、C的坐標代入得：，解得，∴；（2）如圖3，過點P作軸交BC于點H，圖3∵軸，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴當取最大值時，取最大值，設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，將點B、C的坐標代入得：，解得，∴，∴，∴，∴，∴當時，取得最大值，最大值為，∴的最大值，將代入到中，得，∴；（3）設(shè)直線的解析式為：，∵點、∴，解得，∴，∵，∴直線的解析式為：，∵，設(shè)，∴，∴，（舍去），∴，過點作直線，∴直線：，設(shè)，則，由（2）可知，∴，,①當時，整理得：，解得：，∴，∴點的橫坐標為：；②當時，∴，整理得：，解得：，∴的橫坐標為或，∴綜上，的橫坐標為：或或．13．（2021四川攀枝花市又BH⊥CH，∴∠BHC＝90176。2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線交y軸于點E（0，2）（1）求直線BE的解析式；（2）如圖2，過點A作BE的平行線交拋物線于點D，點P是拋物線上位于線段AD下方的一個動點，連接PA，PD，求三角形APD面積的最大值（3）若（2）中的點P為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使得以A，D，P，Q為頂點的四邊形行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由？【答案】（1）；（2）4；（3）存在，點Q的坐標為或或或．解：（1）令y＝0，則，解得或，∴，令，則，∴，設(shè)直線BE的解析式為，將、代入得，解得：，∴；（2）由題意可設(shè)AD的解析式為，將代入，得到，∴，聯(lián)立，解得：，∴，過點P作PF⊥x軸于點F，交AD于點N，過點D作DG⊥x軸于點G．∴，設(shè)），則，∴，∴，∵，∴當時，的面積最大，最大值為4；（3）存在；①當PD與AQ為平行四邊形的對邊時，∵，AQ在x軸上，∴，∴，∴，∵，∴或；②當PD與AQ為平行四邊形的對角線時，PD與AQ的中點在x軸上，∴P點的縱坐標為2，∴或，∴PD的中點為或，∵Q點與A點關(guān)于PD的中點對稱，∴或；綜上所述：點Q的坐標為或或或．20．（2021∵∠ACO＝∠POC+∠APO，∴∠APO＝60176。九年級一模）如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，△ABC的面積為5．動點P從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B運動，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．（1）求拋物線的解析式；（2）當MN最大時，求運動的時間；（3）經(jīng)過多長時間，點N到點B、點C的距離相等？【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）3s；（3）秒．（1）∵拋物線y＝與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0∴AB＝n+1，OC＝n由S△ABC＝ABOC＝5∴∴∴取正根n＝4∴y＝＝x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2）∴直線BC為設(shè)M（m,m+2），N（m,m2+m+2）∴MN＝＝＝∴當m＝2時，MN最大∴OP＝2∴AP＝3，即經(jīng)過3s，MN最大；（3）如下圖所示，作BC的中垂線，與BC交于點D，與y軸交于點E，與拋物線交于點N，∴△CDE～△COB∴由（2），得BC＝2，D（2，1）∴DE＝2CD＝2∴CE＝5∴OE＝3∴E（0，3）∴直線DE為y＝2x3由x2+x+2＝2x3移項整理得：x2+x5＝0∴x2+x10＝0取正根x＝∴OP＝∴AP＝即經(jīng)過秒，點N到點B、點C的距離相等．24．（2020山西陽泉市九年級二模）如圖，二次函數(shù)的圖象過點和，與軸交于點．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若在該二次函數(shù)的對稱軸上有一點，使的長度最短，求出的坐標．（3）動點，同時從點出發(fā)，其中點以每秒個單位長度的速度沿折線按的路線運動，點以每秒4個單位長度的速度沿折線按的路線運動，當，兩點相遇時，它們都停止運動．設(shè)，同時從點出發(fā)秒時，的面積為．請直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；當時，S解：（1）∵該函數(shù)圖象過點，∴解之，得，．∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）∵∴對稱軸是點關(guān)于的對稱點是，所以與對稱軸的交點即為點，使的長度最短設(shè)直線的解析式為，將，代入，解得當時，所以（3）根據(jù)題意得，兩點相遇的時間為（秒）現(xiàn)分情況討論如下：?。┊敃r，；ⅱ）當時，設(shè)點的坐標為∴，∴∴ⅲ）當時，設(shè)點的標為，類似ⅱ可得設(shè)點的坐標為∴，∴∴