20xx屆江蘇省南京市中華中學(xué)高三上學(xué)期暑期學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 所以二面角的正弦值為.【點睛】方法點睛：本題考查證明線面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出二面角的平面角并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點為坐標(biāo)，求出二面角兩個面的法向量，由兩個平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補）．21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，都有，求的取值范圍；（3）若方程有兩個不同的解，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由解析式知：定義域為，討論參數(shù)a，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進而可知的單調(diào)性；（2）由已知，在遞減，即有在上恒成立，用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，找到最小值，僅需即可求范圍；（3）由題意知：在上有兩個零點，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求出a的范圍，結(jié)合零點存在性定理確認(rèn)零點的存在性.【詳解】（1），定義域為，∴，當(dāng)時，在遞減；當(dāng)時，若，則，在遞增，若，則，在遞減；綜上，知：當(dāng)時，在遞減；當(dāng)時，在遞增，在遞減.（2）設(shè)，則，若，即在遞減.∴，設(shè)，則，設(shè)，則，在遞增，∴，∴，在遞減，∴，即的取值范圍是.（3），令，方程有兩個不同的解，即有兩個零點.，.當(dāng)時，單調(diào)遞減，最多有一個零點；當(dāng)時，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.∴，解得.下證：當(dāng)時，有兩個零點.∵，∴在有唯一零點；令，即，當(dāng)時，則遞增；當(dāng)時，則遞減；故，可知：，∴，即，∴，取，即，.∴在上有唯一零點.綜上，當(dāng)時有兩個零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）由原函數(shù)解析式求導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類討論的方法，研究其單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在遞減，進而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求參數(shù)范圍；（3）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定參數(shù)范圍，并結(jié)合零點存在性定理確認(rèn)零點的存在性.22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點，、兩點.（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的上頂點時，求的面積；（3）若經(jīng)過點作的垂線，求直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由焦點及橢圓上一點坐標(biāo)列方程組解得可得橢圓方程；（2）求出直線方程，與橢圓方程的交點坐標(biāo)后易得三角形面積；（3）設(shè)直線，.代入方程代入橢圓方程整理后可得，得異號，同時可得，計算和，由求得，利用基本不等式可得其最大值即最大值，由此得所求直線方程．【詳解】（1）因為橢圓經(jīng)過點，焦距為4.所以消去整理得，解得（負(fù)的舍去），所以，所以橢圓的方程為.（2）方法1：由（1）知，橢圓的上頂點為，此時直線的方程為，代入橢圓消去整理得，解得或，所以的面積； 方法2：由（1）知，橢圓的上頂點為，此時直線的方程為，代入橢圓消去整理得，解得或，所以的面積. （3）直線的傾斜角不等于0（否則直線與直線垂直），所以可設(shè)直線，.由消去整理得，所以， 所以，異號，由求根公式可知，在中，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“＝”.所以為銳角，又在上遞增，所以最大時，.所以最大時，直線的方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓方程，直線與橢圓相交中的面積，最大值問題，對最大值問題，采取設(shè)而不求的思想方法，設(shè)設(shè)直線，.直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達定理得，然后求得的正切值，由正切值的最大得角的最大，得出直線方程．23
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