20xx屆三省三校“3-3-3”高考備考診斷性聯(lián)考卷(二)數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)(更新版)
【正文】 數(shù)的圖像不落在軸的下方.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）令，則，然后分和討論的正負(fù)，可得其單調(diào)區(qū)間；（2）要證明函數(shù)的圖像不落在軸的下方，即證，即證，由于，則只要證，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可【詳解】（1）解：，令，則.當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：要證明函數(shù)的圖象不落在軸的下方，即證，即證.∵定義域為，∴只要證.∵，∴，所以只要證明.令，則，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是要證明函數(shù)的圖像不落在軸的下方，即證，即證，而，所以只要證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于，兩點，求證：為定值.【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）證明見解析.【分析】（1）消去參數(shù)后，得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）首先判斷的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率，再將曲線代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示.【詳解】（1）解：由(為參數(shù))，消去參數(shù)，得，即的普通方程為.由，得，將，代入，得，∴的直角坐標(biāo)方程為.（2）證明：由(為參數(shù))，得，故的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率.由（1）知，當(dāng)時，：，則與只有一個交點，不合題意，故.把代入，得，設(shè)，兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，以及利用參數(shù)解決幾何問題，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造幾何意義：的幾何意義是拋物線上的點(除原點外)與原點連線的斜率，所以，方程聯(lián)立后，代入韋達(dá)定理即可求解.23．已知函數(shù).（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，若，都為正數(shù)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）使用零點分段法表示函數(shù)，然后分段畫出圖像即可.（2）根據(jù)（1）的條件可知，然后使用基本不等式計算即可.【詳解】（1）解：由，得作出函數(shù)的圖象如圖5所示.（2）證明：由（1）可知，函數(shù)的最小值為2，所以.∵，都為正數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.20
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