20xx春北師大版數(shù)學(xué)九下36直線和圓的位置關(guān)系(完整版)
【正文】 與直線 y＝ 2x＋ 5相切的圓的方程． 解： 法一 ： 設(shè)圓的方程為： ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2. 依題意得??????? ? 3 － a ?2＋ ? 2 － b ?2＝ r2，b ＝ 2 a ，|2 a － b ＋ 5|22＋ ? － 1 ?2＝ r ， 解這個(gè)方程組，得????? a ＝ 2 ，b ＝ 4 ，r ＝ 5 ，或??????? a ＝45，b ＝85，r ＝ 5 . ∴ 所求的圓的方程為： ( x － 2)2＋ ( y － 4)2＝ 5 或 ( x －45)2＋ ( y －85)2＝ 5. 法二 ： ∵ 圓的圓心在直線 y ＝ 2 x 上， 設(shè)圓的圓心為 ( m, 2 m ) ，因圓過(guò)點(diǎn) (3,2) ， 則半徑 r ＝ ? m － 3 ?2＋ ? 2 m － 2 ?2. ∵ 圓與直線 y ＝ 2 x ＋ 5 相切． ∴|2 m － 2 m ＋ 5|22＋ ? － 1 ?2＝ ? m － 3 ?2＋ ? 2 m － 2 ?2 解得 m ＝ 2 或45. 當(dāng) m ＝ 2 時(shí)，圓心為 (2,4) ，半徑 r ＝ 5 . 當(dāng) m ＝45時(shí)，圓心為 (45，85) ，半徑 r ＝ 5 . 故所求的圓的方程為： ( x － 2)2＋ ( y － 4)2＝ 5 或 ( x －45)2＋ ( y －85)2＝ 5. [例 3] 如圖所示，求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(6，－ 4)且被定圓x2＋ y2＝ 20截得弦長(zhǎng)為 6 的直線的方程． [思路點(diǎn)撥 ] 可利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方 程，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角 三角形求解． 2 [ 精解詳析 ] 如圖所示， 作 OC ⊥ AB 于 C ，連接 OA ，則 AB ＝ 6 2 ，OA ＝ 2 5 . 在 Rt △ OAC 中， | OC |＝ 20 － ? 3 2 ?2＝ 2 . 顯然直線的斜率存在，設(shè)所求直線的斜率為 k ，則直線的方程為 y ＋ 4 ＝ k ( x － 6) ， 即 kx － y － 6 k － 4 ＝ 0. ∵ 圓心到直線的距離為 2 ， ∴|6 k ＋ 4|1 ＋ k2＝ 2 ， 即 17 k2＋ 24 k ＋ 7 ＝ 0. ∴ k ＝－ 1 或 k ＝－717. ∴ 所求直線的方程為 x ＋ y － 2 ＝ 0 或 7 x ＋ 17 y ＋ 26 ＝ 0. [ 一點(diǎn)通 ] 求弦長(zhǎng)的常用方法 (1) 代數(shù)法： ① 將直線與圓的方程聯(lián)立，解得兩交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)． ② 設(shè)直線的斜率為 k ，直線與圓聯(lián)立，消去 y 后所得方程兩根為 x1， x2，則弦長(zhǎng) d ＝ 1 ＋ k2| x2－ x1|. (2) 幾何法： 設(shè)弦長(zhǎng)為 l ，弦心距為 d ，半徑為 r ，則有 (l2)2＋ d2＝ r2，故 l ＝ 2 r2－ d2，即半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角
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