利用拉格朗日中值定理證明琴生不等式的一種形式(完整版)
【正文】 函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時，:當(dāng)x1時,有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。(x)=(x)=e1x,則g39。(0,p)時，sinxx成立。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時，xlnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。)是增函數(shù)。(x1,x2)，\由（Ⅱ）得f(x)g(x)，即f(l1x1+l2x2)f(x1)f(x2)(l1x1+l2x2x1)+f(x1)=l1f(x1)+l2f(x2)，x1x2\當(dāng)n=2時，結(jié)論成立.??????????9分②假設(shè)當(dāng)n=(k179。(x)=f162。(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+165。N時，對任意大于1，且互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,L,xn，都有f(l1x1+l2x2+L+lnxn)l1f(x1)+l2f(x2)+L+lnf(xn).參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)21．(本題滿分14分)解：（１）f162。(x0)=f(b)f(a)f(x1)f(x2).試用這個結(jié)論證明：若1x1x2，函數(shù)g(x)=(xx1)+f(x1)，則對任bax1x2意x206。(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x206。(x1,x2)，使得f162。(x0,x2)時，h162。[0,+165。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。(0,p),∴f39。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。(x)0在(0,+165。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。(ba)242。y163。baf(x)dx242。f(x)g(x)dxdy=242。/6對于函數(shù)xx179。/6利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。本文通過一些實(shí)例，來說明利用導(dǎo)數(shù)增證明不等式的基本方法。)上可導(dǎo)。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m11ln(1+m)ln(1+n)成立。11ln(1+m)ln(1+n)； mnm從而：(1+m)(1+n)。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當(dāng)x0時，G39。難點(diǎn)在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。證明：設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，則f(x)=2ln(1+x)+xx1+xx1x39。0由f39。x206。x∈則f39。/2cosx如果它要證x178。f
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