0均值不等式的常見題型(完整版)
【正文】 ,b，滿足a+b=1，則+的最小值為 ab設(shè)x0，則y=33x均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）四．典例分析考向一：利用均值不等式求最值212xy+22x3xy+4yz=0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足值為（）A．0B．1 9C．4 D．3x2+7x+1，求函數(shù)f(x)=的最大值。B、ab179。2ab(a,b∈R)（2）22ba +179。恒成立？如果存在，求出所有k值；如abbcac 1較難：設(shè)abc0，則2a2+11+10ac+25c2的最小值是（）aba(ab)A．2 B．4 C．25 D．5已知：a 0, b 0,且4a + b = 30,求11+的最小值 ab三 典型例題分析若a,b206。R+)；③a2+b2179。2 DA(a+b)(+)179。4 B 179。2(ab1).其中正確的個(gè)數(shù)是()A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)已知a1,0b1則logab+logba的取值范圍是（）A(2,+165。R+且a+b=1，求證：a+是否存在常數(shù)c，：考慮x=、已知x,y,z是互不相等的正數(shù)且x+y+z=1，求證：（若a b 0,求a+211+b+163。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。C、a+b179。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。1，則3+9的最小值為___________。是不等式這一章的核心，在高中數(shù)學(xué)中有著比較重要的地位。四、教學(xué)方法：為了達(dá)到目標(biāo)、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，我本著以教師為主導(dǎo)的原則，再結(jié)合本節(jié)的實(shí)際特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)方法。R)，仿照預(yù)備定理的證明證明均值定理 0，求證：+abab179。________,即ab163。2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。a,b206。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學(xué)生還得通過反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。2ab179。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得證法三：∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。當(dāng)n=2時(shí)易證。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即：1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。ab+bc+aca+b+c179。Gn163。（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：課本第71頁練習(xí)A、B；已知x1,求y=x+6+x+1的最值；（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：+2若a,b206。本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出
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