【正文】 數(shù)互為 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 求函數(shù) y=﹣ x2+3x﹣ 2的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 小明是這樣思考的：由函數(shù) y=﹣ x2+4x﹣ 3可知， a1=﹣ 1， b1=4， c1=﹣ 3，根據(jù) a1+a2=0， b1=b2，c1+c2=0，求出 a2， b2， c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題： （ 1）直 接寫出函數(shù) y=﹣ x2+4x﹣ 3的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ； （ 2）若函數(shù) y=﹣ x2+ mx﹣ 3與 y=x2﹣ 3nx+n互為 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ，求 的值； （ 3）設(shè)點(diǎn) A（ m， n）在拋物線上 L： y=ax2+bx+c的圖象上，證明：點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線 L的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” 上． （ 4）已知函數(shù) y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）的圖象與 x軸交于點(diǎn) A、 B兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn)A、 B、 C 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是 A1， B1， C1，試證明經(jīng)過點(diǎn) A1， B1， C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）互為 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù) 綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) a1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0，求出 a2=﹣ 1， b2=﹣ 3， c2=﹣ 2，從而求出函數(shù)y=x2﹣ 3x﹣ 2的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ； （ 2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義得到： ，從而解得 m=﹣ 15， n=3，進(jìn)而求出的值； （ 3）根據(jù)題意寫出拋物線 L的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” 解析式，然后把點(diǎn)（﹣ m，﹣ n）代入進(jìn)行驗(yàn)證 即可； （ 4）根據(jù)題意得 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2），得到 A1（ 1， 0）， B1（﹣ 4， 0）， C1（ 0，﹣ 2），從而求出兩個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)互為 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 【 解答】 解：（ 1）在 y=﹣ x2+4x﹣ 3中， a1=﹣ 1， b1=4， c1=﹣ 3， ∵a 1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0， ∴a 2=1， b2=4， c2=3， 可得函數(shù) y=﹣ x2+4x﹣ 3的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” 為 y=x2+4x+3； （ 2）根據(jù)題意得 ， 解得 ． =[ （﹣ 15） +3]2021=﹣ 1； （ 3）證明：點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為 A′ ，則點(diǎn) A（ m， n）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 A′（﹣ m，﹣ n）． 拋物線 Ly=ax2+bx+c的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” 解析式為 y=﹣ ax2+bx﹣ c． 把點(diǎn) A′ （﹣ m，﹣ n）代入得到：﹣ n=﹣ a（﹣ m） 2﹣ mb﹣ c=﹣ am2﹣ mb﹣ c，則 n=am2+bm+c，即點(diǎn)（ m， n）在拋物線 y=ax2+bx+c上， 所以點(diǎn) A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線 L的 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” 上． （ 4）題意得 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2），得到 A1（ 1， 0）， B1（﹣ 4， 0）， C1（ 0，﹣2）， 又 ∵y= ﹣ （ x+1）（ x﹣ 4）即 y=﹣ x2+ x+2，經(jīng)過點(diǎn) A1， B1， C1的二次函數(shù)為 y= （ x﹣ 1）（ x+4） = x2+ x﹣ 2， ∵a 1+a2=0， b1=b2， c1+c2=0， ∴ 兩個(gè) 函數(shù)互為 “ 旋轉(zhuǎn)函數(shù) ” ． 25．已知 Rt△ABC≌Rt△CDE ；現(xiàn)將它們擺放成圖 ① 所示位置，其中 B、 C、 D 三點(diǎn)在同一直線上，連接 AE． （ 1）如圖 ① ，若 AB=2， BC=4，求 AE的長(zhǎng)； （ 2）如圖 ② ，取 AE 的中點(diǎn) M，連接 BM、 DM，證明： BM=DM； （ 3）如圖 ③ ，將圖 ① 的 Rt△CDE 以直線 CD為對(duì)稱軸向下翻折，仍然連接 AE，取 AE的中點(diǎn)M，連接 BM、 DM，請(qǐng)問： BM=DM還成立嗎？請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】 （ 1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 ∠BAC= ∠DCE ， AC=CE，利用角與角之間的數(shù)量關(guān)系以及直角的性質(zhì)即可證明 AC⊥CE ，再利用勾股定理即可求出 AE 的長(zhǎng)； （ 2）連接 CM，證明出 △ABM≌△CDM ，即可得到 BM=DM； （ 3）延長(zhǎng) BM交 DE于點(diǎn) N，利用 AAS證明 △ABM≌△ENM ，于是得到 BM=MN，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得 BM=DM． 【解答】 解：（ 1） ∵Rt△ABC≌Rt△CDE ， ∴∠BAC=∠DCE ， AC=CE， 在 Rt△ABC 中， ∵∠BAC+∠BCA=90176。 時(shí)，則 M3（﹣ ， ）； ③ 當(dāng) ∠MEH=90176。 ， ∴AC⊥CE ， ∴AE 2=AC2+CE2， ∵AC 2=AB2+BC2， ∴AE= AC= 2 =2 ； （ 2）連接 CM，如圖 ② ， ∵△ACE 是直角三角形，點(diǎn) M是 AE的中點(diǎn)， ∴CM=AM= AE， 在 △ABM 和 △CDM 中， ， ∴△ABM≌△CDM ， ∴BM=DM ； （ 3）如圖 ③ ，延長(zhǎng) BM交 DE于點(diǎn) N， ∵∠ABD=∠CDE=90176。b ﹣（ a﹣ b） 2 （ 3） ． 【考點(diǎn)】 分 式的混合運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；整式的混合運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】 （ 1）原式第一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用乘方的意義及零指數(shù)冪法則計(jì)算，第三項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果； （ 2）原式第一項(xiàng)利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用完全平方公式展開，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果； （ 3）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果． 【解答】 解：（ 1）原式 =3﹣ 1﹣ 3+4=3； （ 2）原式 =a2﹣ 2ab﹣ b2﹣ a2+2ab﹣ b2=﹣ 2b2； （ 3）原式 = ? = ? =x﹣ 2． 20．我校初三年級(jí)在開學(xué)初進(jìn)行了跳繩測(cè)試．某班體育老師告訴該班體育委員：班上只有8%的同學(xué)得到了滿分 20分，要加油．體育委員將跳繩測(cè)試的統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖，以便根據(jù)班級(jí)情況進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練．請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題： （ 1）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （ 2）已知全校初三共有 1500名學(xué)生，請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)全校跳繩成績(jī)?cè)?17 分以下的約有 120 人； （ 3）針對(duì)班級(jí)目前的情況，體育委員決定將跳繩成績(jī)?cè)?17 分或 17 分以下的同學(xué)分成兩組進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，現(xiàn)準(zhǔn)備從得滿分的 4名同學(xué)中隨機(jī)選擇兩名擔(dān)任組長(zhǎng)．已知得滿分的同學(xué)只有 1名女生．請(qǐng)你利用樹狀圖或列表的方法求出這兩名組長(zhǎng)是一男一女的概率． 【考點(diǎn)】 列表法與樹狀圖法；用樣本估計(jì)總體；條形統(tǒng)計(jì)圖． 【分析】 （ 1）用得 20分的人數(shù)除以它所占的百分比可得全班人數(shù)，然后計(jì)算出得 17分的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖； （ 2）用樣本中成績(jī)?cè)?17 分以下的人數(shù)所占百分比表示全校成績(jī)?cè)?17 分以下的人數(shù)的百分比，然后用 1500乘以這個(gè)百分比可估計(jì)全校跳繩成績(jī)?cè)?17分以下的人數(shù)； （ 3）先畫樹狀圖展示 所有 12種等可能的結(jié)果數(shù)，找出一男一女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算． 【解答】 解：（ 1）全班人數(shù) =4247。8%=50 （人）， 所以 17分的人數(shù) =50﹣ 4﹣ 12﹣ 18﹣ 4=12（人）， 如圖， （ 2） 1500 =120（人）， 估計(jì)全校跳繩成績(jī)?cè)?17分以下的約有 120人； 故答案為 120； （ 3）畫樹狀圖為： 共有 12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中一男一女的結(jié)果數(shù)為 8， 所以這兩名組長(zhǎng)是一男一女的概率 = = ． 21．在直角坐標(biāo)平面中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù) y=x2+bx﹣ 3的圖象與 x軸的負(fù)半軸 交于點(diǎn)A，與 x軸的正半軸交于點(diǎn) B，與 y軸交于點(diǎn) C，且 S△OAC = ． （ 1）求此二次函數(shù)的解析式． （ 2）如果點(diǎn) P為拋物線的頂點(diǎn)，求以 A、 B、 C、 P為頂點(diǎn)的四邊形的面積． 【考點(diǎn)】 拋物線與 x軸的交點(diǎn)． 【分析】 （ 1）先確定 C（ 0，﹣ 3），再利用三角形面積公式可計(jì)算出 OA=1，則 A（﹣ 1， 0），然后把 A點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=x2+bx﹣ 3中求出 b=﹣ 2，從而可得到拋物線的