【正文】 X k ,0,1 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 14 則 nXXXX 、 ?321 獨 立 同 為 二 點 分 布 ： ? ? ? ?2101 ???? ii XPXP（ ni ,2,1 ?? ） , 且 nXXXX ???? ?21 服從二項分布 B(n,21) 所以 EEX? ( nXXX ??? ?21 )= ? ? ? ?? ?? ? ???nknkknXPXE1 1 1 21 ? ? ? ? ? ? ? ??? ???????nk knnXnDXDXXXDXD1 121 4? 而 ? ? ? ? ???? ???nkknnnk kCkXkPXE 10 21 ? ?? ?nkknn nkC1 221 即 ????nknkn nkC112 又 ? ? ? ?? ?? ????nknkknn CkkXPkXE0 1222 21 ? ? ? ? ? ?XEXDXE 22 ?? ? ?? ????????nkknn nnCk1222421 即 ?????nknkn nnCk122 2)1( 例 4 證明組合恒等式 ?? ?? ?rkr nmkrnkm CCC0 證明 考察從由 mn? 個 大人 和 n 個 孩子 組成的 家庭隊伍中 選取 1?r 個 人 參加 親子 比賽的問題 . 所選 1?r 個 人 中 大人 的人數(shù)用 X 表示，則隨機變量 X 服從超幾何分布，且 ? ? 1111? ???????r nmkrnkmC CCkXP（ 1,1,0 ?? rk ? ） 于是 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ???????????????????????????????rkkrnkmrnmrkkrnkmrnmrkrnmkrnkmCCCnm rmCCCnm rmC CCkXE01111101111111111 令 ???? 個大人未被選中第 個大人被選中第 kkX k ,0,1 （ 1,2,1 ?? mk ? ） ? ? ? ? ? ? ? 111。于是（ 1? ， 2? ）服從多項分布，其分布律為 jinjiji ppppjinji njiP ????????? )1()!(!! !},{ 2121?? 令 21,4121 ?? pp，則聯(lián)合分布率為： 122 1)!(!! !},{ ??????? nji jinji njiP ?? 它的邊緣分布為： ??? ????mni mipmP 0 212 },{)( ??? 同時 nmnmnmmn CCmPnB 21)21()21()(),21,(~ 22 ??? ??? 因為多項分布的邊緣分布是二項分布，從而兩式相等，也就是： mnmnimni imimn CCC ??? ??? ? 20 所以證得原組合恒等式 ????kmkmnmnmkin CCC 2成立。所以，事件 iA 包含的基本事件數(shù)為 i 1?nnC 于是 112)(???nnni niCAP 顯然， nAAAA , 210 ? 互不相容，并且 ????? nAAA ?10 所以 ??? ???? ?????ni nnnni ini i niCAPAPP1 1111 2)()()(1 ? 又由于 ininn CC ?? 于是 1321 232 ?????? nnnnnn nnCCCC ? 例 5 證明范德蒙（ Vendermonde）恒等式 k mnmknkmnkmn CCCCCCC ?? ??? 0110 ? 證明 我們首先來構(gòu)造一個如下的概率模型： 設(shè)一個盒子中有 mn? 張不同的卡片，其中 n張紅色卡片 m張白色卡片，我們隨機的從中取出 k 張卡片并 且不放回作為一組。 用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機變量的數(shù)字特征，在運用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計算出來，從而可以推導(dǎo)出需要 證明的結(jié)論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。因為在運用概率論的方法證明組合恒等式時，它的思維靈活，背景生動并且容易理解，表達方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛。俄羅斯 的 彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，繼承和發(fā)展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學(xué)科；提出和創(chuàng)立了概率論新思想，開拓了概率論新領(lǐng)域。 numeral characters 目 錄 摘 要 ............................................................................................................................ I Abstract........................................................................................................................ II 第 1 章 緒 論 .............................................................................錯誤 !未定義書簽。 每種論證方法中首先總的介紹這種方法是用的什么思想，然后列舉例子加以論證，使所述問題更加透徹 . 關(guān)鍵字： 組合恒等式；概率模型； 古典概率； 數(shù)字特征 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) II Abstract Combinatorial identity is an important part and research field of binatorics. This paper explores using probabilistic method to derive binatorial identities. We count a probabilistic problem by using different ways to obtain different expresses for the question. We build a probabilistic model on a classical probability to find or prove some identities by constructing the event whose probability equals 1 or 0, that is ， the the equatin will be drawn from the concrete problems. We investigate binatorial identities using probability properties and numeral characters of a random variable with discrete type. Each method was first demonstrated the general description of what this method is thought, and then held some examples discussed. Keywords: Combinatorial identity。柯爾莫哥洛夫首 次 用 測度 理論 定義 了什么是 概率。 實際應(yīng)用方面的價值 大家都知道，在證明初等恒等式的時候，如果我們 采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數(shù)學(xué)分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會使得它們的應(yīng)用受到限制。反過來，可以通過構(gòu)造這些特殊的概率模型，利用概率模型的性質(zhì)，如概率函數(shù)的規(guī)范性，可以求解一些用常規(guī)方法難證齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 3 明的恒等式。 ]1[ 例 1 證明組合恒等式： ????? ?nkmnkmknkmkn CCC022)(2)(22 證明 我們可以利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造成如下概率模型： 假設(shè)盒子里有 n 副大小不同的手套， 現(xiàn)在我們從中隨機抽取 2m只（ 2mn），那么正好有 k 副手套配對的概率為： ),2,1,0()(22221222 mkC CCCp mnkmkm kmkpk ?????? 根據(jù)完備事件組的性質(zhì)知道： ?? ?mk kP0 1 于是可以得到 ????? ?nkmnkmknkmkn CCC022)(2)(22 例 2 證明組合恒等式 11 ?? ?? knknkn CCC 證明 首先我們將公式變形為 1111 ?? ??? knknknknCCCC 現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型：一批貨物共 1?n 個，準(zhǔn)備批發(fā)出廠 .若已知其中有一個是廢品，現(xiàn)在從中隨機地抽取 k 個貨物出來? ?11 ??? nk ，問廢品被抽到的概率是多少？抽出 k 個貨物中沒有廢品的概率又齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計 (論文 ) 5 是多少？ 若記事件 1A 為“抽出 k 個貨物 中沒有廢品”的事件，那么事件 12 AA? 就是“抽到 k 個貨物中有廢品 ”的事件，即 1A 和 2A 為兩個對立事件 . 有 ? ? .11 knknCCAP ?? ? ? ? ? .1 11112 kn knCCCAPAP ? ??? 由于 21,AA 構(gòu)成完備事件組，所以， 有 ? ? ? ? 121 ?? APAP . 從而有 1111 ?? ??? knknknknCCCC 成立， 即有 11 ?? ?? knknkn CCC 成立 . 例 3 證明組合恒等式 ),(011110 nkmkNknmCCCCCCCCC k nmmkmnkmknmknm ???????? ??? 其中? 證明 現(xiàn)在我們利用完備事件組的性質(zhì)，構(gòu)造如下概率模型： 設(shè)盒子中有 m張紅色卡片和 n 張白色卡片，每次取出 k )( nmk ?? 張卡片，求得到 i )( mi? 張卡片的概率。而運用隨機變量的數(shù)字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點，然后構(gòu)造出合適的隨機變量，并且利用隨機變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)方差等。因此，就可以得到上述式子。由于證明中的關(guān)鍵是對隨機事件概率的逆過程的求解—— 我們需要由 kP 去尋找 kA ,故在思考過程中起主導(dǎo)作用的是發(fā)散性思維，創(chuàng)造性思維。在概率問題中，我們往往不能局限在一種思維，其實可以用多角度的思想去解答，這樣也會給證明帶來便利。1111knknCCCAP ??? 設(shè)事件 B 為 k 張卡片中有黑色卡片 的事件，事件 B 的逆事件記為 B ,由事件間的關(guān)系有 ? ? .BABABBAA ???? 從而 ? ? ? ?BABAPAP ?? ? ? ? ?BAPBAP ?? 所以 ? ?kn