【正文】 ifents of Ha(s) %a=Dwnominator polynomial coefficents of H(s) %wmax=Maximum frequency in rad/sec over which response is desired % W=[freqs(b,a,w)。 [b,a]=u_buttap(N,Omegac)。 Fuction [b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Hp,As)。 13 設(shè)計(jì)方程 模擬低通濾波器由參數(shù) ?? , pp R 和 sA 給出，因此在巴特沃茲濾波器情況下設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)就是為了求得由這些參數(shù)所給出的濾波器階次 N 和截止頻率 c? 。 A0=a(1)。也常常需要一種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。在下面的函數(shù) ),( om egacNbuttap?? 中，設(shè)計(jì)這個(gè)非歸一化的巴特沃茲模擬原型 濾波器。 （ 4）極點(diǎn)對(duì) ?j 軸是對(duì)稱(chēng)分布的。幅度平方響應(yīng)的圖如下圖所示。除非這些零極點(diǎn)全都位于 ?j 軸上，否則它們不能唯一地被確定。第二是要研究幅度平方響應(yīng)的性質(zhì)。 （ 3） 研究并實(shí)行頻帶變換以便于數(shù)字低通濾波器得到其他數(shù)字濾波器。 43 3 IIR 濾波器設(shè)計(jì) IIR 濾波器具有無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)，因此能夠與模擬濾波器相匹敵；一般來(lái)說(shuō)，所有的模擬濾波器都有無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)。 29 原型濾波器的相位響應(yīng) 22 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 10 設(shè)計(jì)方程 IIR 濾波器 在設(shè)計(jì)上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。 關(guān)鍵字： IIR，切比雪夫，巴特沃茲，低通濾波器 2 目錄 摘要 7 巴特沃茲低通濾波器 19 設(shè)計(jì)方程 32 模擬 數(shù)字濾波器變換 為此，需要對(duì)低通濾波器實(shí)行頻帶變換，這些變換也是復(fù)值映射，在各種文獻(xiàn)中也能得到。然后在研究將這些原模擬濾波器轉(zhuǎn)換到不同的頻率選擇性數(shù)字濾波器的各種變換。另外， 對(duì)于實(shí)系數(shù)的濾波器來(lái)說(shuō)，零極點(diǎn)是共軛成對(duì)出現(xiàn)的（或者說(shuō)對(duì)實(shí)軸成鏡像對(duì)稱(chēng)） c 一種典型的 )()( sHsH aa ? 零極點(diǎn)圖如圖 所示，從這張可以夠造出 )(sHa ，它就是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這一節(jié) 中 簡(jiǎn)要綜 述這些原型低通濾波器的特性 :巴特沃茲低通，切比雪夫低通 (I 和 II 型 )和橢圓低通 :盡管我們還是用 MATLAR 函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)這些濾波器，但是仍有必安懂得這些濾波器的特性，以便在 MATIAB 函數(shù)中能使用適當(dāng)?shù)膮?shù)得出正確的結(jié)果。 為了確定系統(tǒng)函數(shù) )(sIIa ，現(xiàn)將（ ）式的形式得到 NlNNcjaaa jsjjsjHsHsH s 222)()()(11||)(|)()(?????????? ?? （ ） 由（ ）式分母多項(xiàng)式的根（或 )()( sHsH aa ? 的極點(diǎn)）給出為 12...,1,0,)()1( )12(22 1 ??????? ? Nkejp k r nNrjcNk （ ） （ ）式的一種解釋是： （ 1） )()( sHsH aa ? 總共有 2N 個(gè)極點(diǎn)，它們均勻分布在半徑為 c? 的圖上，相隔 N/? 弧度。然而，需要的是具有任意 c? 的非歸一化的巴特沃茲濾波器。 b0=k 11 b=k*B。Nb=length(b)1。 Omegac=?，F(xiàn)選 c? =，這樣就必須設(shè)計(jì)一個(gè)N=3 和 c? = 的巴特沃茲濾波器，這就是在例題 中完成得，所以 ))(( )( 2 ????? sssjH a MATLAB 實(shí)現(xiàn) 上面設(shè)計(jì)過(guò)程在 MATLAB 中可以作為一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 WsWp0 %Rp=Passband ripple in +dB 。 Fuction[db,mag,pha,W]=freqs_m(b,a,Wmax)。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計(jì)在例題 中給出得模擬巴特沃茲低通濾波器。 [b,a]=afd_nutt(Wp,Ws,Rp,As)。 17 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度 (dB) 圖 例題 中的巴特沃茲模擬濾波器 （ a）象位響應(yīng)；（ b）脈沖響應(yīng) 切比雪夫低通濾波器 有兩類(lèi)切比雪夫?yàn)V波器，切比雪夫 Ⅰ 型濾波器在通帶具有等波紋響應(yīng)，而切比雪夫 Ⅱ 行濾波器在阻帶內(nèi)均具有單調(diào)相應(yīng)。 （ 2） 在 x=1（或 ? = c? ）；22 1 1|)1(| ???jH a，對(duì)所有 N。這可以通過(guò)將這個(gè)歸 20 一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? 來(lái)完成，和巴特沃茲原型濾波器相似，這個(gè)濾波器沒(méi)有零點(diǎn)，新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以將原來(lái)的K 倍乘以非歸一化分母多項(xiàng)式對(duì)歸一化分母多項(xiàng)式的比在 s=0 的求值來(lái)完成。 A=real(poly(p))。 %Analog Lowpass Filter Desogn。 A=10? (As/20)。 Ws=*pi。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= %Calculation of Frequency response。我們不打算討論這種濾波器的細(xì)節(jié)，但是從 MATLAB 中利用一種函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫Ⅱ型濾波器。 % b=numerator polynomial cofficients % a=denominator polynomial cofficients % N=order of the Elliptic Filter % As=stopband Ripple in dB 。 N=length(b)。 除去 sc ??? 外，對(duì)于切比雪夫Ⅱ型的設(shè)計(jì)方程與切比雪夫Ⅰ型式類(lèi)似的，因?yàn)椴y式在阻帶內(nèi)。 (Rp0) %As=stopband attenuation in +dB。 例題 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，滿(mǎn)足在例題 中給出的技術(shù)要求： 通帶截止頻率： ???p ；通帶波紋： dBRp 1? 阻帶截止頻率： ???s ；阻帶波紋： dBAs 16? 題解 MATLAB 腳本 Wp=*pi。 ***Chebyshev2 filter Order=4 %Calculation of second –order sections。有明顯的理由表明，這些濾波器的分析，從而設(shè)計(jì)都是很困難的。 MATLAB 提供出函數(shù) ellipke 用于數(shù)值計(jì)算 上面積分，從而可以用于計(jì)算 N 和設(shè)計(jì)橢圓和設(shè)計(jì)橢圓濾波器。 Rp0 % As=stopband Ripple in dB。 bNn=b(M)。這個(gè)函數(shù)給出如下，并利用了由（ ）式給出的濾波器階次的計(jì)算公式。 (As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger than 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0’) 31 End Ep =sqrt(10?(Rp/10)1)。 Fprintf(‘\n***Elliptic Filter Oder =% \n’,N) [b,a]=U_elipap(N,)。 [b,a]=afd_elip(WP,Ws,Rp,As)。 圖 例題 橢圓模擬低通濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度（ dB）；（ c）相位響應(yīng)；（ d）脈沖響應(yīng) 原型濾波器的相位響應(yīng) 橢圓濾波器在幅度平方響應(yīng)上提供了最優(yōu)先性能，但是在通帶內(nèi)具有高的非線性相位響應(yīng)（在許多應(yīng)用中這是不希望的）：盡管在設(shè)計(jì)中沒(méi)有 關(guān)心相位響應(yīng)，但是在整個(gè)系統(tǒng)中相位仍然是一個(gè)重要的問(wèn)題，在性能方面的另一種極端式巴特沃茲濾波器，它具有最大平坦的幅度響應(yīng)，并要求有更高的階次 N（更多的極點(diǎn)）以達(dá)到相同的阻帶衰減。如果從模擬到數(shù)字濾波器我們想要保留脈沖響應(yīng)的形狀，那么就得到一種稱(chēng)為脈沖響應(yīng)不變的方法。因?yàn)檫@是一種采用運(yùn)算，所以模擬和數(shù)字頻率有下列聯(lián)系： T??? 和 Tjj ee ??? 由于 z= ?je 是在單位圓上， s= ?j 是在虛軸上，所以有下面從 s 平面到 z平面的變換 cTez? （ ） 系統(tǒng)函數(shù) )(zH 和 )(sHa 是經(jīng)由頻域混疊公式（ ）式聯(lián) 系的： )2(1)( kTjsHTzH k a ??? ????? 在（ ）式的映射關(guān)系下，復(fù)平面的變換如圖 所示。 （ 3） 利用部分分式展開(kāi)，將 )(sHa 展開(kāi)為 ?? ?? Nk kka ps RsH 1)( （ ） （ 4） 現(xiàn)將模擬極點(diǎn) kp 變換為數(shù)字極點(diǎn) Tpke ，得到數(shù)字濾波器 ?? ??? Nk Tp k zkeRzH 1 11)( （ ） 例題 用 T=，采用脈沖響應(yīng)不變法將 65 1)( 2 ?? ?? ss ssH a 變換為數(shù)字濾波器 H（ z）。 [b,a]=residuez(R,P,K)。圖 中展示出模擬濾波器和所得數(shù)字濾波器的脈沖（沖激） 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ a）脈沖響應(yīng) 37 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ b）幅度響應(yīng) 響應(yīng)和幅度響應(yīng)（對(duì)采樣間斷 1/T 畫(huà)出的）。 %Stopband attenuation in dB %Analog prototype Specifications。 [C,B,A]=dir2par(b,a) C= [] 38 B= A= 這個(gè)期望的濾波器是一個(gè)六階巴特沃茲濾波器，它的系統(tǒng)函數(shù)以并聯(lián)型給出為 211211 )(?????? ?? ????? ?? zz zzz zzH 21 ????? ?? zz z 頻率響應(yīng)圖如圖 所示。 %Set T=1 OmegaP=wp/T。 下面幾個(gè)例子對(duì)全部三種原型濾波器說(shuō)明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì) 過(guò)程。 a=real(a’)’ 在 MATLAB 新的學(xué)生版本中可以獲得一個(gè)稱(chēng)為 Impinvar 的類(lèi)似函數(shù)。那么，由（ ）式并用 T= 得出 2111213 89 11 2)( ??????? ?? ?????? zz zzezezH TT 很容易建立一個(gè) MATLAB 函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)這個(gè)脈沖響應(yīng)不變法的映射。 （ 3） 由于 s 平面的整個(gè)左半面都是映射到單位圓內(nèi)，所以一個(gè)因果面穩(wěn)定的模擬濾波器映射為一個(gè)因果而而穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。很多其它的方法也都是可能的。切比雪夫?yàn)V波器具有的相位特性位于上面兩種濾波器的兩者之間。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B= 0 A= 0 %Ca。 Ws=*pi。 Omegac=Wp。 %Analog Lowpass Filter Design。 b=real(poly(z))。 A=real(poly(0))。我們需要一個(gè)具有任意 c? 的非歸一化橢圓濾波器。 橢圓濾波器的幅度平方響應(yīng)給出為 )(11|)(|222cNa UjH????? ? （ ） 這里 N 是階次，是通帶波紋（它與有關(guān)）和（ [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 R