【正文】 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 16．（ 12 分）（ 2021 春高密市期末）已知（ x+ ） n 的展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等． （ 1）求 n 的值； （ 2）求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和； （ 3）求展開式 中所有的有理項(xiàng)． 【分析】 寫出二項(xiàng)式（ x+ ） n展開式的通項(xiàng)公式，（ 1）根據(jù)展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，列出方程求出 n 的值； （ 2）利用展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為 2n，即可求出結(jié)果； （ 3）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中所有的有理項(xiàng)． 【解答】 解：二項(xiàng)式（ x+ ） n 展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1= xn﹣ r = ，（ r=0， 1， 2， …， n）； （ 1）根據(jù)展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，得 = ，即 n= ， 解得 n=5； （ 2）展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為 + + +…+ =25=32； （ 3）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1= ，（ r=0， 1， 2， …， 5）； 當(dāng) r=0， 2， 4 時，對應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng)， 所以展開式中所有的有理項(xiàng)為 T1= x5=x5， T3= x5﹣ 3= x2， T5= x5﹣ 6= ． 【點(diǎn)評】 本題考查了二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用問題，也考查了利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的應(yīng)用問題，是綜合性題目． 17．（ 12 分）（ 2021 春高密 市期末）醫(yī)院到某社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況，從該社區(qū)全體老人中，隨機(jī)抽取 12名進(jìn)行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）如下： 65， 78， 90， 86，52， 87， 72， 86， 87， 98， 88， 86．根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績不低于 80 的為優(yōu)良． （ 1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該社區(qū)全體老年人中任選 3 人進(jìn)行體質(zhì)健康測試，求至少有 1 人成績是 “優(yōu)良 ”的概率； （ 2）從抽取的 12人中隨機(jī)選取 3 人，記 ξ表示成績 “優(yōu)良 ”的人數(shù)，求 ξ的分布列和期望． 【分析】 （ 1）從該社區(qū)中任選 1 人，成 績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ，由此能求出在該社區(qū)老人中任選三人，至少有 1 人成績是 ‘優(yōu)良 ’的概率． （ 2）由題意得 ξ的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 ξ的分布列和期望． 【解答】 解：（ 1）抽取的 12 人中成績是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ， 故從該社區(qū)中任選 1 人，成績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ， 設(shè) “在該社區(qū)老人中任選三人，至少有 1 人成績是 ‘優(yōu)良 ’的事件 ”為 A， 則 P（ A） =1﹣ = ． （ 2）由題意得 ξ的可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ ξ=0） = = ， P（ ξ=1） = = ， P（ ξ=2） = = ， P（ ξ=3） = = ， ∴ ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P Eξ= =2． 【點(diǎn)評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用． 18．（ 12 分）（ 2021 春高密市期末）如圖，在各棱長均為 2 的三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，側(cè)面 A1ACC1⊥ 底面 ABC，且 ∠ A1AC= ，點(diǎn) O 為 AC 的中點(diǎn)． （ 1）求證： AC⊥ 平面 A1OB； （ 2）求二面角 B1﹣ AC﹣ B 的余弦值． 【分析】 （ 1）連結(jié) A1C，推導(dǎo)出 A1O⊥ AC， BO⊥ AC，由此能證明 AC⊥ 平面 A1OB． （ 2）以 O 為原點(diǎn)，分別以 OB、 OC、 OA1為 x軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明二面角 B1﹣ AC﹣ B 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1）連結(jié) A1C， ∵ AC=AA1， ∠ A1AC= ， AB=BC，點(diǎn) O 為 AC 的中點(diǎn)， ∴ A1O⊥ AC， BO⊥ AC， ∵ A1O∩BO=O， ∴ AC⊥ 平面 A1OB． 解：（ 2） ∵ 側(cè)面 A1ACC1⊥ 底面 ABC， ∴ A1O⊥ 平面 ABC， ∴ A1O⊥ BO， ∴ 以 O 為原點(diǎn)，分別以 OB、 OC、 OA1為 x軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 0，﹣ 1， 0）， B（ ， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， A1（ 0， 0， ）， B1（ ）， ∴ =（ 0， 1， ）， =（ ）， =（ 0， 2， 0）， 設(shè)平面 AB1C 的法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=﹣ 1，得 =（﹣ 1， 0， 1）， 又平面 ABC 的法向量為 =（ 0， 0， ）， ∴ cos＜ ＞ = = = ， ∴ 二面角 B1﹣ AC﹣ B 的余弦值為 ． 【點(diǎn)評】 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用． 19．（ 12 分）（ 2021 春高密市期末）某大型企業(yè)招聘會的現(xiàn)場，所有應(yīng)聘者的初次面試都由張、王、李三位專家投票決定是否進(jìn)入下一輪測試，張、王、李三位專家都有 “通過 ”、 “待定 ”、 “淘汰 ”三類票各一張，每個應(yīng)聘者面試時，張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類的概率均為 ，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張 “通過 ”票，則該應(yīng)聘者初次面試獲得 “通過 ”，否則該應(yīng)聘者不能獲得 “通過 ”． （ 1）求應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得 “通過 ”的概率； （ 2）記應(yīng)聘者乙的投票結(jié)果所含 “通過 ”和 “待定 ”票的票數(shù)之和為 X，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【分析】 （ 1）應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得 “通過 ”為事件 A，則事件 A包含甲獲 2張 “通過 ”票或甲獲 3 張 “通過 ”票，張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為 ，且三人投票相互沒有影響，由此能求出應(yīng)聘者甲最終獲