【正文】 成了這份畢業(yè)論文，在論文完成之即，向 寧 老師表示衷心的祝福和誠摯的謝意。第 2版數(shù)學物理方法 [M]。 4(0)x =0, 4(0)x = 01 (0) (0)2 AA?? 其中 101( ) ln ( ) ( )2dP t A t A tdt ?? ? ? 201( ) ln ( ) ( )2dP t A t A tdt ?? ? ? （ 230） 2201( ) ( ) ( )4Q t A t A t??? 以上推導中 ,我們已用到 u(t)=u1(t)+iu2(t)和 v(t)=v1(t)+iv2(t),x1,2(t)=u1(t)177。 （ 3）在經(jīng)典力學中，在 ? 至 ?? d? 之間區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點幾率 ??? d)( 與質(zhì)點在此區(qū)域內(nèi)逗留的時間 dt 成比例，即 Tdtd ?? ??? )( （ 217） 式中 T 為振動周期， 有 TVdTdT ????1)(1)( ??? （ 218） 即幾率密度與質(zhì)點速度成反比。將其代入式（ 26），所得出的 ? 并不能滿足束縛態(tài)條件。取振子平衡位置為坐標原點，選原點為勢能零點，一維諧振子勢能為 （ 21) 式中 k是刻畫簡諧作用力強度的參數(shù)。然而在選擇合適的坐標之后，對于一個復雜的振動往往可以分解成彼此獨立的若干個一維簡諧振動。 （３）臨界阻尼狀態(tài) 如阻力的影響介于前兩者之前，且 ? ＝ 0? ，則方程（ 112）式的解可表示 ： x =( C1 + C2t )e? t （ 115） C１ 和 C2 由初始條件決定，此式仍不表示往復運動，由于阻力較前者為小，將質(zhì)點移開平衡位置釋放后，質(zhì)點很快回到平衡位置并停下來，這種運動狀態(tài)稱為臨界阻尼狀態(tài)。 阻尼諧振子 以上討論均假設(shè)質(zhì)點在振動過程中不受任何阻力，這只是理想的狀態(tài)，在現(xiàn)實中諧振子都是受到阻力的，在運動過程中都是在做振幅逐漸減小的運動，這種受到阻力的諧振子就稱為阻尼諧振子，它是諧振子的一種現(xiàn)實模型，下面我們就研究一下這種諧振子模型 。 以 m表示質(zhì)量，根據(jù)牛頓第 二定律知： m22dtxd =kx (12) 用 m除以上式兩端，并令 mk ＝ 20? 上式可寫作： m22dtxd ＋ 20? ＝ 0 （ 13） 式中的 0? 決定于彈簧的勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量這就是彈簧振子的動力學方程 理想諧振子的運動學方程 根據(jù)運動學公式可知，如果已知理想彈簧振子中質(zhì)點的位置歲時間的變化規(guī)律，即運動學方程，就能充分描述質(zhì)點的運動狀況，下面我們就根據(jù)理想諧振子的動力學方程來求其運動學方程，并討論其運動學特征。 transition probability。本文首先描述了經(jīng)典的受迫諧振子，后對量子力學中的諧振子作了初步描述，然后依據(jù)含時非齊 次波個留夫變換的公式體系詳細討論了受迫量子諧振子的薛定諤方程精確解并且用初等的方法探討了諧振子的躍遷幾率問題 。了解諧振子問題是物理學習者學習物理的基礎(chǔ)，其內(nèi)容包羅萬象，對物理學的發(fā)展特別是近代量子力學的發(fā)展起了不可磨滅的作用，其在固體物理，統(tǒng)計力學以及一些相關(guān)學科中的應(yīng)用廣泛，學好諧振子有關(guān)知識是從事物理事業(yè)的基礎(chǔ)，從而可見諧振子模型在整個物理學尤其是近代物理學的發(fā)展和成熟中的舉足輕重的地位和難以估量的作用，現(xiàn)在諧振子問題是物理學中非常實用的知識，在近代物理學，特別是近百年來量子力學的發(fā)展中有著不可忽視的作用，其處理方法為以 后研究物理，拓寬物理識，解決有關(guān)的物理問題提供一點參考。 0? 稱為圓頻率。? t +? ) 39。? t＋ ? )＋ ?tA ?cos(0 )? （ 118） A和 ? 是由初始條件決定的積分常數(shù)，此解為兩項之和，表明質(zhì)點運動包含兩個分運動，第一項為阻尼振動，隨時間的推移而趨向于消失，它反應(yīng)了受迫振動的暫態(tài)行為，第二項表示與驅(qū)動力頻率相同時振幅為 A0的周期振動。因此在量子力學中研究一維諧振子的量子狀態(tài)便有普遍意義。dinger 方程表為 )()(]212[ 22222 xExxdxd ????? ??? ? （ 23） 對束縛態(tài)必須滿足如下邊界條件： 0)(|| ??? xx ?時， (24) 令 ?? ???? .x??? ?? ?E2? () 將（ 24）代入（ 23）式得 ? ? ? ? ? ? 0222 ??? ???????dd （ 25） ? (或 x)有限的點是微分方程（ 25）式的常點，而 ???? 則為其非正則奇點。由（ 29）式和（ 25）式可知，諧振子的能量本征值為 ???? ?)21n(EE n n =0、 2… (211) 所以線性諧振子線性諧振子的能量只能取分離值，兩相鄰能級之差為 ?? ，對應(yīng)不同的n 或不同的 ? ，方程（ 29）有不同的解 )(Hn? ，稱為厄米多項式，即nnnn d ede)1()(H22???????，故對應(yīng)的波函數(shù)為： 2/12 ]!2/[),()( 22 nAxHeAx nnnxnn ???? ? ???? ? 其中 （ 212） 正交歸一化條件為 mndx)x(nm ???????? ??? （ 213） 其中對應(yīng)于最低的三條能級上的諧振子的波函數(shù)如下： ??????????????????????2/24/132/4/112/4/102222222)12(21)(2)()(xxxexxexxex?????????????? （ 214） 討論：（ 1） )(xn? 是與能量本征值 nE 對應(yīng)的本征函數(shù)。就平均而言， n 愈大，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果越接近，差別只在于 2|)(| ??n 作迅速振蕩。 ,0,1,2,3)我們就可按照方程 (228)— (231)求解非齊次波戈留波夫變換函數(shù) u(t),v(t)和 w(t).再由方程 (26)得到演化算符 ?()Ut的展開系數(shù) bj(t).從而確定與此哈密頓系統(tǒng)對應(yīng)的時間演化算符 (224). 假定初始態(tài)是一個相干態(tài) ? ,則演化態(tài) ()t? ? ?()Ut ? 具有形式 : 1( ) expt u? ? 2*2 2 2* * 2 * 2 *02 2 ( )tv u v w uv w v w k ww dtu?????? ?? ? ? ? ? ? ????? ?nuvHwuvwLuvwuvwn Mmnmmmnmn 22)(!1 2**2**, ???? ??? （ 232） 這里 nmmL? 是締合拉蓋爾多項式 ,Hm(? )是 n階厄米特多項式 . 含時受迫諧振子的演化算符和波函數(shù) 系統(tǒng)的哈密頓量為 ptGtxtFxmwmptH ?)()(?)(?212?)(? 222 ???? （ 233） 為了進行更精確的計算 ,我們