【正文】 ： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級 ： 2021 級 學(xué) 號 ： 姓 名 ： 指導(dǎo)教師 ： 完成 時間 ： 2021 年 6月 目 錄 摘 要： ............................................................ 1 關(guān)鍵詞： ............................................................ 1 引 言 ............................................................. 1 一、交通問題中數(shù)學(xué)模型的分類 ......................................... 1 數(shù)學(xué)微分模型 ........................................... 1 ： ......................................................2 ： ........................................................3 ..........................................................5 ： ..............................................................6 優(yōu)缺點： ............................................................6 動力學(xué)模型 ............................................. 6 ................................................6 ....................................................7 ..................................................7 ........................................................8 .........................................................10 二、基于元胞自動機理論模型及其模擬研究 ............................... 12 交通流元胞自動機模型概述 ............................... 12 一維交通流元胞自動機模型 ..............................................13 NS模型及其改進模型 ...................................................13 FI模型 ..............................................................17 交通流元胞自動機模擬 ................................... 18 ...........................................................18 元胞自動機規(guī)則 ........................................................19 ..............................................................20 結(jié)果分析 ..............................................................23 結(jié)論 ..................................................................24 三、小結(jié) ........................................................... 24 四、參考文獻 ....................................................... 25 1 交通問 題中的數(shù)學(xué)模型的分類 與研究 （新疆石河子大學(xué) 師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 832021） 摘 要： 本課題對以往交通問題中的數(shù)學(xué)模型進行分類總結(jié)，然后著重分析每種方法比如動力學(xué)模型等模型的使用范圍以及相應(yīng)的缺陷，并且在各種方法總結(jié)比較中，挑選動力學(xué)模型中元胞自動機模型進行使用，把車輛在路段上運動的變化規(guī)律表述為元胞自動機的演變規(guī)則，建立基于元胞自動機理論的交通流模擬模型。研究每一時刻通過公路上 每一點的交通流的流量、速度和密度等變量間的關(guān)系。 3 個基本函數(shù)之間存在著密切關(guān)系。當(dāng)把 q 表示為 ? 的 已知函數(shù) ? ?qq?? 時（如（ 3）式），導(dǎo)數(shù) dqd?也是已知函數(shù)，記作 ? ???，于是按照求導(dǎo)法則有 ? ?.q dqx d x x?????? ? ???? ? ? 4 這樣，方程 (5)可以寫成： ( ) 0 , ( ) , 0 ,( , 0 ) ( )dq txt x dx f x??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? （ 6） 其中 ()fx是初始密度。則（ 7）式表明，沿每一條特征線 ()x xt? 車流密度 ( , )xt? 是常數(shù) 0()fx ，當(dāng)然在不同特 征線上 ( , )xt? 隨著 0x 不同而不同。 O a( , )xt?????()sxt b x ( , )xt? 在 ()sxt處間斷 6 應(yīng)用范圍： 該模型適用于研究 一維單車道 交通流，即 研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流，并且前提條件是不允許超車，公路上沒有岔道， 汽車不會從其他通道進入或駛出。 A。流體力學(xué)模型在推動交通流理論的發(fā)展過程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有 LWR 模 型、 Payne 模型等。 通過對 Boltzmann 方程逐級求解，就可以得到宏觀交通流的連續(xù)模型 。 2d 是車輛之間的作用函數(shù) 。 實測數(shù)據(jù)表明，駕駛員對前方車距變化會發(fā)生延遲的反應(yīng)從而產(chǎn)生小擾動，小擾動沿車流上游傳播，經(jīng)過一定程度的放大后，引起暢行車輛的不穩(wěn)定，這個不穩(wěn)定性造成交通“擠壓”，導(dǎo)致局部區(qū)域車輛密集，阻塞相就此形成 。 鑒于優(yōu)化速度模型沒有包含對相對速度效應(yīng)，特別是快速車接近慢速車時就會發(fā)生追尾而引起事故， Treiber 等人提出了智能駕駛模型： 2() ()0( , )1n n n nn n nv s v vva vs? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 該模型考慮在暢通運行狀態(tài)的加速趨勢： ? ?( ) ( )0( ) 1 /nnf n na v a v v ????????? 以及第 n 輛車接近前輛車的減速趨勢 ： ? ? ? ? 2()int , , /nn n n nb s v v a s s? ? ? 10 其中 nv 為前車與后車的速度差（接近速度）， ns 為車間距， s? 是期望最小間距，與實際間距 as 的關(guān)系為： ? ? ( ) ( ) ( )01 () ( ) ( )0, 2n n nn n nn n nn nnv v vs v v s s T vv ab? ? ? ? ? 它隨著速度和接近速率變化而變化， ()0ns 為阻塞距離。 CA是研究系統(tǒng)復(fù)雜性的重要工具 ， 在很多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用 ， Cremer 等最早用 CA 思想對交通流進行了研究。 從定義中可知，演化規(guī)則 R 對所有格位都是同一的，且同時應(yīng)用于他們中 的每個元胞 ，由此得到同步動力學(xué)。由此三元組合可以計算出元胞自動機規(guī)則 R 由 256 種。 不同于一般的動力學(xué)模型，交通流元胞自動機不是由嚴格的物理方程確定， b a b 映射邊界 13 而是通過構(gòu)造一系列模型的規(guī)則來實現(xiàn)的，這恰恰增強了其表達復(fù)雜關(guān)系的能 力，為其在復(fù)雜的交通流領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。這種模型適合與模擬高速公路或城市交通環(huán)線上的交通流。 14 （ 3） 隨機規(guī)則：在概率 p 下， ( 1 ) m a x ( ( 1 ) 1 , 0 )v t v t? ? ? ?。 由 NS 模型模擬得到的流量 密度曲線是連續(xù)的 ， 然而近幾年來的實驗和研究表明 ，流量 密度曲線在接近通行能力的地方有明顯的間斷 ， 流量會突然下降 ， 這說明流量 密度曲線具有不連續(xù)性。 15 （ 3） ( 1 ) m a x ( ( 1 ) 1 , 0 )v t v t? ? ? ?， m ax m axm axvp v vpp v v????? ??? ，其中 max 0, 0vpp?? （ 4）車輛速度： ( 1) ( ) ( 1)x t x t v t? ? ? ?。因此 ， 由 TT 模型模擬得出的最大流量將低于 NS 模型的模擬結(jié)果。 （ 4） 考慮前車車速的改進模型 在 NS 模型中 ， 車輛的速度只與前 后兩車的間距有關(guān) ， 而與前車車速無關(guān)。 （ 5）車輛運動： ( 4 ) ( 4 )( 1 ) ( ) ( 1 ) 。 （ 2）如果 v gap? ，則 v gap? 。 即 maxgap v? 時， v gap? ； （ 3） 根據(jù)隨機減速規(guī)則 ， ()ivt表示第 i 輛車的行駛速度， 當(dāng)車輛能夠以最大速度 maxv 前進時 ， 它將以概率 p 從 maxv 減速為 max 1v ? 。 每個位置的狀態(tài)有 7 種 ， 分別是 ： 位置空閑和該位置處車輛速度分別為 0， 1， 2， 3， 4， 5元胞 長度 /秒 。 由于每個 元胞 長度為 2 m ， 因此在 元胞 自 動機模型中最大速度將為 元胞 長度 /秒 ， 車速范圍為 max0 v 。 元胞 自動機規(guī)則 在規(guī)則中使用的變量符號定義如下 。 20 (2)減速規(guī)則 在 t 時刻 ， 若 ( ) ( )nnv t gap t? ， 則車輛減速行駛 。 下面是在不同車流密度下的位置 時空斑圖： 空間位置（ s p a c e )演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖 空間位置（ s p a c e )演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖 圖 1 不同車流密度 位置時空斑圖 對比圖 22 在現(xiàn)實情形 中 ，城市長達 500 米的道路上基本都有紅綠燈設(shè)置 ，那么下面模擬在道路上設(shè)置紅綠燈情況下的車流等的位置關(guān)系。模擬結(jié)果顯示，在同等交通承載能力下，選擇適當(dāng)位置添加紅綠燈將對交通流產(chǎn)生較大影響， 能在一定程度上限制交通事故的發(fā)生，提高城市道路交通行為能力。不僅有傳統(tǒng)的 數(shù)學(xué)微分非線性模型 ，經(jīng)典的 概率統(tǒng)計模型、車輛跟馳模型、流體動力學(xué)模型、車輛排隊模型 ，也有現(xiàn)階段 不斷在研究上實現(xiàn)突破的元胞自動機模型 。規(guī)則不變，通過 matlab 模擬得到如下的 模擬結(jié)果 ： 紅綠燈下車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（ s p a c e )演化時間(time)紅綠燈下車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（演化時間(time) 演化時間(time)紅綠燈下車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（ s p a c e )演化時間(time)紅綠燈下車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（ 圖 2 紅綠燈下不同車流密度對比圖 23 結(jié)果分析 對比 圖 1 中沒有添加紅綠燈 車輛位置 — 時空演化圖可以發(fā)現(xiàn)， ?? 時車輛位置分布比較均勻 ， 車流速度較大 ，車輛 位置與時間具有較好的線性關(guān)系 ， 交通流處于稀薄狀態(tài) ； 而 隨著密度的增大 到 ?? 時 ， 交通流逐漸由稀薄流向稠密流轉(zhuǎn)變 ， 車頭間距越來越小 ， 車輛速度迅速減小 ， 道