【正文】 葉變換得到功率譜。 為了改進(jìn)周期圖的統(tǒng)計(jì)特性，可以近似地用對一組周期圖進(jìn)行平均的方法完成期望運(yùn)算。 數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望值等于譜的真實(shí)值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。對于白高斯過程， )()](?[ 2 fPfPE xxxP E R ?? ?，方差 )}(?var{ fPPER ])2s in2s in(1)[( 22 fN NffP xx ???? 對 任 何 非 白 過 程 ， 只 要 記 錄 數(shù) 據(jù) 足 夠 長 ,])2s in2s in(1)[()](?v ar [ 22 fN NffPfP xxPER ???? 對于不靠近 0或 21? 的頻率，且 ??N 時(shí)，上式近似地退化為： )()](?v a r [ 2 fPfP xxPER ? 可以看出，方差與數(shù)據(jù)長度 N 無關(guān)，即方差不隨 N 的增大而減小至零。 功率譜密度的另一個(gè)定義 : 可以證明，功率譜密度（ PSD）的一個(gè)近似等效的定義是 })2(e x p)(121{lim)( 2fnjnxMEfP MMnMxx ???? ????? （ 315） 上式定義的 PSD 與維納一辛欽定理 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ?????? ?? k xxxx fkjkrfP )2e x p ()()( ? （ 316） 是等效的。下面討論隨機(jī)序列有限個(gè)樣本的相關(guān)函數(shù)的估計(jì)問題。 ???? ??2/12/1 )()(21)0( dffPdPr yyyy?? ???為輸出過程 )}({ ny 的平均功率。 )(),( 2121 nnrnnr xxxx ?? )](*)([)( nxknxEkrxx ??)(),( 2121 nnrnnr xyxy ??)](*)([)( nyknxEkrxy ???????? ?? k kjxxxx dekrP ?? ?)()(??? ?? ? ??? dePkr kjxxxx )(21)(南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 若 )(nx 含有周期性分量，則 )(krxx 也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng) ??k 時(shí)， 0)( ?krxx 。一次抽樣得到的 ?值便可作為 θ的較好近似值。很大時(shí)，一次抽樣得出的 ?值能 以很大的概率充分接近被估參數(shù) θ，這就提出了相合性 (Consistency)(一致性 ) 的要求。 定義 :設(shè)來自總體 x 的一個(gè)樣本，是總體參數(shù) θ的一個(gè)估計(jì)量，若 E? = θ, 則稱 ?是 θ的無偏估計(jì)量 Unbiased Estimator)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù) 實(shí)隨機(jī)信 號 X（ t)的自相關(guān)函數(shù)定義 : Rxx(t1,t2) = E,X(t1)X(t2)= ∫ ∫ x1+∞?∞+∞?∞ x2 f2(x1,x2,τ) dx1dx2 (27) 由 于 平穩(wěn)隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)， 設(shè) t2 = t1 +τ，則有f1(x1,x2,t1,t2 )= f2(x1,x2,t1,t τ )所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間間隔T 的函數(shù)，記為 Rxx(τ)。但對」幾正態(tài)隨機(jī)過程兩者是 等價(jià)的。 (2)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)宇特征 : 1) E[X(t)]= mx，平穩(wěn)隨機(jī)過 程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān) 。 ) 概率密度函數(shù)是為了表示瞬時(shí)數(shù)據(jù)落在指定幅值范圍的概率。 分布函數(shù)的性質(zhì) (1) 單調(diào)不減性 :若 X1 X1，則 F(X1) ??(X2)。如分析測試中的測定值 就是一個(gè)以概率取值的隨機(jī)變量，被測定量的取值可能在某一范圍內(nèi)隨機(jī)變化， 其體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定 所得到的測定值具有統(tǒng)針 的 規(guī)律性。在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得具體信號的表達(dá)式 ,需要根據(jù)有限 的數(shù)據(jù)樣本來獲得較好的譜估計(jì)效果，因而譜估計(jì)被廣泛的應(yīng)用于各種信號處理中。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。 Power Spectrum Estimation。南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 南京郵電大學(xué)通達(dá)學(xué)院 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文） 題 目： 基于 Matlab的信號功率譜估計(jì) 專 業(yè)： 通達(dá)學(xué)院 學(xué)生姓名： 夏麗君 班級學(xué)號： 11006811 指導(dǎo)教師： 梁涓 指導(dǎo)單位： 南京郵電大學(xué) 日期： 20xx 年 11 月 24 日 至 20xx 年 6 月 12 日 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 摘 要 數(shù)字信號處理 (DSP)重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一，是建立在周期信號和隨機(jī)信號基礎(chǔ)上的功率譜估計(jì) 。 The Periodogram； the BT methods. 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 目 錄 1. 緒論 課題背景 研究意義 研究內(nèi)容 2. 功率譜估計(jì) 的概述 隨機(jī) 變量 平穩(wěn)隨機(jī)信號 平穩(wěn)隨機(jī)信號 定義 平穩(wěn)隨機(jī)信號 特征 平穩(wěn)隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜 估計(jì)質(zhì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 3. 經(jīng)典功率譜估計(jì) 譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 周期圖法 周期圖法的定義 周期圖的性能 周期圖法改進(jìn)措施 自相關(guān)法 直接法和間接法的關(guān)系 本章小結(jié) 4. 現(xiàn)代譜估計(jì) 平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型 AR 模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 正則方程求導(dǎo) AR 模型參數(shù)求解的經(jīng)典算法 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） AR 模型譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)及性質(zhì) 譜估計(jì)的步驟 AR 模型譜估計(jì)的性質(zhì) MA 模型譜估計(jì) ARMA 模型譜估計(jì) 本章 小結(jié) 5. MATLAB 下的經(jīng)典譜與現(xiàn)代譜估計(jì)的仿真 MATLAB 經(jīng)典譜估計(jì)的仿真 MATLAB 現(xiàn)代譜估計(jì)的仿真 結(jié)束語 致謝 參考文獻(xiàn) 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第一章 緒論 課題背景 功率 譜 估計(jì)技術(shù)淵源流長，在過去的幾十年獲得了飛速的發(fā)展。 Yule 在 1927 年提出了用線性回歸方程來模擬啦一個(gè)時(shí)間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時(shí)間序列中的周期，進(jìn)而 發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計(jì)中最重要的方法 — 參數(shù)模型法。 課題內(nèi)容 本論文研究了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差別在 于 ，后者的測定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。 (2) 歸一性 :對任意賣數(shù) x， 0F(X)1，且 limx→∞F limx→∞(x)= 0,F(+∞)= limx→∞F(x)= 1 (3) 左連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù) x， 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） F(x0)=F(x) 、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 定義： ux = E(x)= ∫ x+∞?∞ P(x)dx， 為 x 的數(shù)學(xué)期望值，或者簡稱均值。 定義為： P(x) = limx→0 prob,x??(t)≤x+?xT = limx→0 1?x [limT→∞ txT] (23) 瞬時(shí)值 x（ t)小 于 或等 于 謀值 x的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù) P(x) = prod,x(t)≤ ∫ P(ξ)dξ +∞?∞ (24) 表 征了一個(gè)隨機(jī)過程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過程在某個(gè)時(shí) 刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 2) D[X(t)]= Q2x，平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時(shí)間無關(guān) 。本論文若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程 。 平穩(wěn)隨機(jī)信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) :設(shè) X （ t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為Rxx(τ)，自一辦方差函數(shù) Cxx(τ)，則它們有如下 性質(zhì) : (1) τ = 0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， Rxx(τ) = R(?τ) 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） Cxx(0) = Qx2 (2)當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即 : Rxx(τ)= R(?τ) Cxx(τ)= C(?τ) (3)當(dāng) T=O時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 Rxx(0) ≥ | Rxx(?τ)| Cxx(0) = |Cxx(?τ)| (4)若 X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)數(shù)也是周期為 T,的周期 h 函 數(shù)，即 Rxx(τ)≥ R(t+ τ) Cxx(τ)= Cxx(t+τ) (5)若均 值 mx = 0，當(dāng) τ → ∞，時(shí)， X (t) 與 X( t+ τ)相 互獨(dú) 立，有l(wèi)im|x|→0 Rxx(τ)= 0，對 于 零均值 的 平穩(wěn)隨機(jī)信號，當(dāng)時(shí) 時(shí)間間 T很大時(shí)， X(t)與 X（ t+τ)相互獨(dú)立，互不相關(guān)。一個(gè)估計(jì) 量如果不是無偏的 就稱它 已是有偏估計(jì)量。 定義：設(shè) ? = ?（ x1,X2 ?） 是總體參數(shù) θ的估計(jì)量，如果對任意 ω 0都有l(wèi)imn→∞p|? ?θ|,則稱 ?是 θ的相合估計(jì)量（或者一致估計(jì)量）。 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第三章 經(jīng)典功率譜估計(jì) 經(jīng)典譜估計(jì)方法是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT法）。 當(dāng) )(nx 為實(shí)序列時(shí)， )(?xxP 為非負(fù)實(shí)對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 我們經(jīng)常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。 設(shè) }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實(shí)隨機(jī)序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個(gè)值。 由（ 315）式和由（ 316）式維納一辛欽定理給出的 PSD 的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的基礎(chǔ)。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。顯然它不等于功率譜的真實(shí)值，因而是有偏估計(jì)。假定在區(qū)間 10 ??? Ln 上有 k 組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機(jī)過程的現(xiàn)實(shí)。自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。常用的兩種辦法是相關(guān)函數(shù)加窗和分段平均周期圖法，這兩種辦法都有實(shí)用價(jià)值，它們都采用了 FFT 算法，使得計(jì)算量大大減小。 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第四章 現(xiàn)代譜估計(jì) 平穩(wěn)隨機(jī)信號的參數(shù)模型 由于 經(jīng)典功率譜估計(jì)方法的方差性較差，分辨率較低。 是一個(gè)因果的線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)，當(dāng)然，它應(yīng)該是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應(yīng) 是確定的。 )(nu )(zH)(mrx )(zH)(zH)(zH)(nh)(nu)(nu南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） AR 模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 正則方程的求導(dǎo) 參數(shù)模型法功率譜估計(jì)的主要思想是：將廣義平穩(wěn)的過程 x(n)表示成一個(gè)輸入序列 u(n)激勵(lì)線性系統(tǒng) H(z)的輸出；由已知的 x(n)或其自相關(guān)函數(shù) 來估計(jì) H(z)的參數(shù)；由 H(z)的參數(shù)估計(jì) x(n)的功率譜。 “前向預(yù)測”是利用 n 之前的 P個(gè)值對 x(n)性預(yù)測，；與之對應(yīng)的“后向預(yù)測”其中 e(n)為為預(yù)測誤差， P預(yù)測誤差功率， f表示前向預(yù)測， b 表示后向預(yù)測。 (4)改進(jìn)協(xié)方差算法。當(dāng)均值為 1時(shí)， 將在的上下波動(dòng)，即在有的區(qū)域， ，而在另外的區(qū)域， 。類似地，可導(dǎo)出