【正文】 單位就相等，分子大的就意味著含有的分?jǐn)?shù)單位多。 （三）、 分?jǐn)?shù)的讀法與寫法： 讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分?jǐn)?shù)的分母，再讀“分之”最后讀分子。 ） 自然數(shù)是等于或大于 0的整數(shù)，也可以說是不小于 0的整數(shù)，既是非負(fù)整數(shù)。百分?jǐn)?shù)的分母是 100。 （ 1）分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣的一份的數(shù)就是這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。 自然數(shù)的基本單位是 1，最小的一位數(shù)是 1而不是 0。有限小數(shù) 的判定方法： ① 必是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) ， ② 分母只含有 2 的質(zhì)因數(shù)或只含有 5的質(zhì)因數(shù)（或只含有 2和 5 的質(zhì)因數(shù)） ， 如果分母中 還 含有了 2和 5 以外的其 它 質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù) 。像 0、 5……叫做自然數(shù)。 一、《 數(shù)與代數(shù) 》： A、數(shù)的認(rèn)識(shí) （ 概念部分 ） 一 、數(shù)的意義： 整數(shù)：像 — — — 0、 3……這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。一個(gè)物體也沒有用 “ 0” 表示。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)叫做無限小數(shù)。 數(shù)位：各個(gè)計(jì)數(shù)單位所占的位置叫做數(shù)位。 最大的分?jǐn)?shù)單位是 21 。 1分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù) 的關(guān)系：分?jǐn)?shù)既可以表示一個(gè)數(shù)（后面可加數(shù)量單位）；也可以表示兩個(gè)數(shù)的 倍 比關(guān)系。 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) 。讀帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要先讀整數(shù)部分，再讀“又”字，最后按分?jǐn)?shù)部分的讀法讀分?jǐn)?shù)部分。）；分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個(gè)分?jǐn)?shù) 反而 大。 （一擴(kuò)一縮，倍數(shù)相同，積不變。 即 “ 值同 ,意義不同 ” ） 判斷： ① 在小數(shù)點(diǎn)的末尾 添上 0或者去掉 0，小數(shù)的大小不 變。 6．比例的基本性質(zhì)： 在比例中，兩內(nèi)項(xiàng)的積等于兩外項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì) 。如：運(yùn)貨物、物體（或液體）分裝箱（或瓶）、乘車（ 或船 ） 的人數(shù)安排、需要安排材料等一類有余數(shù)的除法數(shù)學(xué)問題 。 百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：先把百分?jǐn)?shù)的改寫成分母是 100的分?jǐn)?shù)，然后約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) 。 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的那個(gè)數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 求兩個(gè) 數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊方法： 如果兩個(gè)數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，較小數(shù)就是較大數(shù)的因數(shù)，則較大數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；較小數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 （ 2） 一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是 3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是 3的倍數(shù) 。 最小的質(zhì)數(shù)是 2，既是質(zhì)數(shù)又是奇數(shù)的最小一位數(shù)是 3，最小的合數(shù)是 4，百數(shù)表中，最大的質(zhì)數(shù)是 97。（ 2）根據(jù)所含因數(shù)的個(gè)數(shù)，自然數(shù)可分為： 質(zhì)數(shù)、合數(shù)。 除法的意義：以這兩個(gè)數(shù)的積和其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。 ⑶ 、乘法的計(jì)算方法： ① 整數(shù)乘法的計(jì)算方法：相同數(shù)位對(duì)齊，從末尾乘起，用第二個(gè)因數(shù)的每一位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，用哪一位的數(shù)去乘，乘得的積的末尾就要和那一位對(duì)齊，最后把每次乘得的積的相加。除數(shù)是小數(shù)的除法：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變?yōu)檎麛?shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也要向右移動(dòng)相同位數(shù)（位數(shù)不夠時(shí)，在被除數(shù)的末尾用 0補(bǔ)足），然后按除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。如： 126ⅹ 8≈ 1000，是把 126看作 125來估算，屬于小估范疇。 商 “ 被除數(shù) 247。 任何不是 0的數(shù) =任何不是 0的數(shù)的倒數(shù) 規(guī)定： 除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母、比的后項(xiàng)”均有 不能為 0”的條件 。 （ ），去掉括號(hào)，里面的數(shù)前的符號(hào)要變號(hào)，變 247。 (b247。 c 六、運(yùn)算順序： 加法 、 減法叫做一級(jí)運(yùn)算，乘法 、 除法叫做二級(jí)運(yùn)算。分析數(shù)量關(guān)系，確定先 算什么，再算什么，最后算什么；再次，確定每一步該怎樣算，列出算式，算出得數(shù)；最后進(jìn)行檢驗(yàn)，寫出答案。工作時(shí)間 工作時(shí)間＝工作總量247。 常用單位轉(zhuǎn)換方法： Km 化 cm， 在 “千米 ”數(shù)后加上 5個(gè) 0，并將 “千米 ”單位改成 “厘米 ”。 13． 農(nóng)業(yè)收成，經(jīng)常用“成數(shù)”來表示。成本 15． 濃度 =溶質(zhì)247。單位“ 1”的量＝部分量對(duì)應(yīng)的分率 少的數(shù)量247。 培養(yǎng)和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題的能力，體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)。 5000 = 110％ …… 實(shí)際產(chǎn)量相當(dāng)于原計(jì)劃的 110％ 110％ 100％ = 10％ …… 實(shí)際比計(jì)劃多生產(chǎn)百分之幾 答：實(shí)際比計(jì)劃多生產(chǎn) 10％。就用“多（少）的量 247。為什么呢？把兩個(gè)百分之幾比較一下，就可以得出這兩個(gè)百分之幾對(duì)應(yīng)的量是一個(gè) 數(shù)比另一個(gè)數(shù)多的量或另一個(gè)數(shù)比一個(gè)數(shù)少的量，而這兩種說法是相同的，也就表示的是同一個(gè)量；而單位“ 1”一個(gè)是梨，一個(gè)是蘋果，所以這兩個(gè)百分之幾是不可能相等的。 原計(jì)劃每天完成的量”，就可以求出實(shí)際每天多修百分之幾。計(jì)算時(shí)可將百分 數(shù)化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)來計(jì)算。 方法 1： 16000 10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600（元） 方法 2： 16000 （ 1 + 10％） = 16000 = 17600（元） 答：王叔叔買這輛摩托車一共要花 17600元錢。 果園里種了 60棵果樹，其中 36棵是蘋果樹。 二、解決實(shí)際問題 白兔有 25只，灰兔有 30 只。 掌握利息的計(jì)算方法，會(huì)正確地計(jì)算存款利息。 稅前應(yīng)得利息 = 本金 利率 時(shí)間 500 ％ 3 = （元） 答：到期后應(yīng)得利息 。已知原價(jià)的 85％是 1020元，要求原價(jià)是多少，可以列方程解答。 例 一臺(tái)液晶電視 6000元，若打七五折出售，可降價(jià)多少元？ 分析原因： 6000 元為原價(jià)，打七五折出售，要先算出實(shí)際售價(jià)再相減，或者先算出降價(jià)部分占原價(jià)的 25％。 ｘ （ 1 20％） = 40 ｘ 80％ = 40 ｘ = 50 50 20％ = 10（元） 答：這件商品原價(jià) 50元，虧了 10 元。這條牛仔褲原價(jià)多少元？ 算出折數(shù)。有一種款式的 MP3，原價(jià) 280元 ，現(xiàn)在打三折出售。根據(jù)求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少用乘法列方程求解，或者根據(jù)除法的意義，直接解答。 ｘ + 60％ｘ = 48 = 48 ｘ = 30 60％ｘ = 30 60％ = 18 答：甲繩長(zhǎng) 30米，則乙繩長(zhǎng) 18米。多 6 個(gè) 排球 排球的個(gè)數(shù)是籃球的 75％ 等量關(guān)系式：籃球 – 排球 = 6 個(gè) 解答：設(shè)籃球有ｘ個(gè)，則排球有 75％ｘ個(gè)。 正確解答：設(shè)男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。 ｘ 20％ｘ = 36 = 36 ｘ = 45 答：灰兔有 45只。 ｘ + 20％ｘ = 48 = 48 ｘ = 40 答：灰兔有 40只。盈利 25％，說明盈利的是原來成本的 25％，實(shí)際售價(jià)是原來成本的（ 1 + 25％）。 點(diǎn)評(píng)：在解答稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要學(xué)會(huì)畫線段圖，它的好處是：使題目的條件變得簡(jiǎn)潔，找數(shù)量關(guān)系式時(shí)更加容易、方便。 根據(jù)所給信息，說出數(shù)量間的相等關(guān)系 ①一條路，已修了全長(zhǎng)的 60% ②一種彩電，現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低 10% ③松樹的棵數(shù)比柏樹多 13 看圖列式。（ 1+20%） ④ 200247?！被蛘呤÷圆粚?。 （ 3）根據(jù)等式的性質(zhì)可以解方程。 （ 4）比例的基本性質(zhì)。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù) 叫做比的后項(xiàng)。如：學(xué)校運(yùn)來 200 棵樹苗，老師栽種 了 10%，剩下的按 5:4:3分配給甲、乙、丙三個(gè)班，丙班分得多少棵樹苗？ ② 已知一個(gè)量和比。 （ 6）按比例分配 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。 （ 2）比例的性質(zhì) 在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi) 項(xiàng) 的積。 四、正比例和反比例 （ 1）成正比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成 正比例的量 （ “變化方向”相同） ， ，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 正方形的面積與邊長(zhǎng)的平方成正比例，但與邊長(zhǎng)不成比例 。 圓柱的體積一定，底面積和高成反比例。這些可以測(cè)定的客觀事物的特征叫做量。用來作為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的量叫做計(jì)量單位。 圓柱的側(cè)面積一定，底面直徑與高成反比例。 圓的直徑與半徑成正比例。 用字母表示 x y = k(一定 ) 不同點(diǎn)： 正比例是同擴(kuò)同縮，比值一定；反比例是一擴(kuò)一縮，乘積一定 。 如：把等式 ax=by改寫成比例式后， a和 x必須同時(shí)為外項(xiàng)，或同時(shí)為內(nèi)項(xiàng)。 計(jì)算方法：先求出各部分的份數(shù)占總份數(shù)的幾分之幾，再求出總量的幾分之幾是 多少。 （ 4）求比值和化簡(jiǎn)比 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值 。 列方程解應(yīng)用題的步驟： （ 1）找出未知數(shù)并用 X表示。另一個(gè)因數(shù) 被除數(shù)＝商除數(shù) 除數(shù)＝被除數(shù)247。 二、等式與方程 ： 表示相等關(guān)系的式子叫做等式。既 簡(jiǎn)單明了，又能表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律。 （ 2）一個(gè)數(shù)的 25%比它的 75%少 30，求這個(gè)數(shù)。 模擬試題 一、基本訓(xùn)練： 找出下列各題中的單位“ 1”，并在它的下面劃上 “ ”。 ｘ 25％ｘ = 18 = 18 ｘ = 24 24 （ 1 + 25％） = 30（元） 答：原來成本是 24元，應(yīng)按 30元出售該商品。 40 = 20％，符合題意。 45 = 20％，符合題意。 點(diǎn)評(píng)：解錯(cuò)此題的原因是單位“ 1”的量找錯(cuò)了，要記住找單位“ 1”的量時(shí)候，首先要去找分率（百分率），因?yàn)闆]有分率就沒有單位“ 1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那個(gè)量就是單位“ 1”的量。 你會(huì)自己檢驗(yàn)嗎？ 檢驗(yàn)： 24 18 = 6（個(gè)），符合籃球比排球多 6個(gè)。 18 247。 靈活運(yùn)用本單元所學(xué)知識(shí)，、解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題，溝通分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之間的聯(lián)系。 ) 一輛自行車 200元，在原價(jià)基礎(chǔ)上打八折，小明有貴賓卡，還可以再打九折，小明買這輛車花了多少錢？ 小紅在書店買了兩本打八折出售的書，共花了 12元，小紅買這兩本書便宜了多少錢。這兒有一家快餐店也在搞促銷，你能算出這些美食分別打幾折嗎？每人可任選一種計(jì)算一下。這個(gè)商店賣出這兩件商品總體上是盈利還是虧本？具體是多少？ 分析與解：盈利 20％，即售出價(jià)是成本價(jià)的（ 1 + 20％）；虧本 20％，即售出價(jià)是成本價(jià)的（ 1 20％）。 例 一批電冰箱，原來每臺(tái)售價(jià) 2021 元，現(xiàn)促銷打九折出售，有一顧客購(gòu)買時(shí)，要求再打九折，如果能夠成交，售價(jià)是多少元？ 分析與解：“促銷打九折出售”就是按原價(jià)的百分之九十出售，用“原價(jià) 90％”，“再打九折”是在促銷價(jià)的基礎(chǔ)上打九折，要用促銷價(jià)乘 90％。 ｘ 85％ = 1020 ｘ = 1020 247。這本書是打幾折出售的？ 分析與解：打了幾折是求實(shí)際售價(jià)是原價(jià)的百分之幾，只要用實(shí)際售價(jià)除以原價(jià)。 使學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。實(shí)際比計(jì)劃多生產(chǎn)了百分之幾？ 小明家八月份用電 80千瓦時(shí)，小亮家比小明家節(jié)約 10千瓦時(shí)，小亮家比小明家八月份節(jié)約用電百分之幾？ X|k |B| 1 . c |O |m 某化肥廠 9月份實(shí)際生產(chǎn)化肥 5000噸，比計(jì)劃超產(chǎn) 500噸。 女生人數(shù)占全班的百分之幾 = （ ）247。按門票的 5％繳納營(yíng)業(yè)稅 計(jì)算，“十一”黃金周期間應(yīng)繳納營(yíng)業(yè)稅多少萬元？ 分析與解：營(yíng)業(yè)稅是按門票的 5％繳納，是占門票收入的 5％，而不是占游客人數(shù)的 5％ 答：“十一”黃金周期間應(yīng)繳納營(yíng)業(yè)稅 。 點(diǎn)評(píng)：在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，各種稅率是不一樣的。 101 = 25％ 答：實(shí)際每天比原計(jì)劃多修25％。降價(jià)百分之幾？ 分析與解：降低到 3000元，即現(xiàn)價(jià)為 3000元，說明降低了 2021元。 例 （難點(diǎn)突破） 一筐蘋果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐蘋果輕（ ）％ 分析與解：蘋果比梨重 20％，表示蘋果比梨重的部分占梨的 20％，把梨的質(zhì)量看作單位“ 1”； 而梨比蘋果輕 20％則表示梨比蘋果輕的部分占蘋果的 20％，把蘋果的質(zhì)量看作單位“ 1”，兩個(gè)單位“ 1”不同，切忌將兩個(gè)問題混為一談。計(jì)劃比實(shí)際少生產(chǎn)百分之幾？ 分析與解：要求“計(jì)劃比實(shí)際少生產(chǎn)百分之幾”，就是求計(jì)劃比實(shí)際少生產(chǎn)的輛數(shù)占實(shí)際產(chǎn)量的百分之幾，把實(shí)際產(chǎn)量看作單位“ 1”。另一個(gè)數(shù)。單位“ 1”的量＝多的分率 …… 注意： 甲數(shù)比乙數(shù)多的分率≠乙數(shù)比甲數(shù)少的分率 。（溶質(zhì) +溶劑） =（溶液 溶劑）247。 5．幾倍數(shù)＝一倍數(shù)倍數(shù)