【正文】 單位就相等，分子大的就意味著含有的分?jǐn)?shù)單位多。 （三）、 分?jǐn)?shù)的讀法與寫法： 讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分?jǐn)?shù)的分母，再讀“分之”最后讀分子。 ） 自然數(shù)是等于或大于 0的整數(shù)，也可以說是不小于 0的整數(shù)，既是非負(fù)整數(shù)。百分?jǐn)?shù)的分母是 100。 （ 1）分?jǐn)?shù)單位：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣的一份的數(shù)就是這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。 自然數(shù)的基本單位是 1，最小的一位數(shù)是 1而不是 0。有限小數(shù) 的判定方法： ① 必是最簡分?jǐn)?shù) ， ② 分母只含有 2 的質(zhì)因數(shù)或只含有 5的質(zhì)因數(shù)（或只含有 2和 5 的質(zhì)因數(shù)） ， 如果分母中 還 含有了 2和 5 以外的其 它 質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù) 。像 0、 5……叫做自然數(shù)。 一、《 數(shù)與代數(shù) 》： A、數(shù)的認(rèn)識 （ 概念部分 ） 一 、數(shù)的意義： 整數(shù)：像 — — — 0、 3……這樣的數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。一個物體也沒有用 “ 0” 表示。小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)叫做無限小數(shù)。 數(shù)位：各個計數(shù)單位所占的位置叫做數(shù)位。 最大的分?jǐn)?shù)單位是 21 。 1分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù) 的關(guān)系：分?jǐn)?shù)既可以表示一個數(shù)（后面可加數(shù)量單位）；也可以表示兩個數(shù)的 倍 比關(guān)系。 0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) 。讀帶分?jǐn)?shù)時，要先讀整數(shù)部分，再讀“又”字，最后按分?jǐn)?shù)部分的讀法讀分?jǐn)?shù)部分。）；分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個分?jǐn)?shù) 反而 大。 （一擴(kuò)一縮，倍數(shù)相同，積不變。 即 “ 值同 ,意義不同 ” ） 判斷： ① 在小數(shù)點的末尾 添上 0或者去掉 0，小數(shù)的大小不 變。 6．比例的基本性質(zhì)： 在比例中，兩內(nèi)項的積等于兩外項的積，這叫做比例的基本性質(zhì) 。如：運貨物、物體（或液體）分裝箱（或瓶）、乘車（ 或船 ） 的人數(shù)安排、需要安排材料等一類有余數(shù)的除法數(shù)學(xué)問題 。 百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：先把百分?jǐn)?shù)的改寫成分母是 100的分?jǐn)?shù)，然后約成最簡分?jǐn)?shù) 。 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的那個數(shù)叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 求兩個 數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊方法： 如果兩個數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，較小數(shù)就是較大數(shù)的因數(shù)，則較大數(shù)是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)；較小數(shù)是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。 （ 2） 一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字的和是 3的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3的倍數(shù) 。 最小的質(zhì)數(shù)是 2，既是質(zhì)數(shù)又是奇數(shù)的最小一位數(shù)是 3，最小的合數(shù)是 4，百數(shù)表中，最大的質(zhì)數(shù)是 97。（ 2）根據(jù)所含因數(shù)的個數(shù)，自然數(shù)可分為： 質(zhì)數(shù)、合數(shù)。 除法的意義：以這兩個數(shù)的積和其中的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。 ⑶ 、乘法的計算方法： ① 整數(shù)乘法的計算方法：相同數(shù)位對齊，從末尾乘起，用第二個因數(shù)的每一位上的數(shù)去乘第一個因數(shù)，用哪一位的數(shù)去乘，乘得的積的末尾就要和那一位對齊，最后把每次乘得的積的相加。除數(shù)是小數(shù)的除法：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變?yōu)檎麛?shù)，除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也要向右移動相同位數(shù)（位數(shù)不夠時，在被除數(shù)的末尾用 0補足），然后按除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計算方法進(jìn)行計算。如： 126ⅹ 8≈ 1000，是把 126看作 125來估算，屬于小估范疇。 商 “ 被除數(shù) 247。 任何不是 0的數(shù) =任何不是 0的數(shù)的倒數(shù) 規(guī)定： 除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母、比的后項”均有 不能為 0”的條件 。 （ ），去掉括號，里面的數(shù)前的符號要變號，變 247。 (b247。 c 六、運算順序： 加法 、 減法叫做一級運算，乘法 、 除法叫做二級運算。分析數(shù)量關(guān)系，確定先 算什么，再算什么，最后算什么；再次，確定每一步該怎樣算，列出算式，算出得數(shù)；最后進(jìn)行檢驗，寫出答案。工作時間 工作時間＝工作總量247。 常用單位轉(zhuǎn)換方法： Km 化 cm， 在 “千米 ”數(shù)后加上 5個 0，并將 “千米 ”單位改成 “厘米 ”。 13． 農(nóng)業(yè)收成，經(jīng)常用“成數(shù)”來表示。成本 15． 濃度 =溶質(zhì)247。單位“ 1”的量＝部分量對應(yīng)的分率 少的數(shù)量247。 培養(yǎng)和解決簡單的實際問題的能力，體會生活中處處有數(shù)學(xué)。 5000 = 110％ …… 實際產(chǎn)量相當(dāng)于原計劃的 110％ 110％ 100％ = 10％ …… 實際比計劃多生產(chǎn)百分之幾 答：實際比計劃多生產(chǎn) 10％。就用“多（少）的量 247。為什么呢？把兩個百分之幾比較一下，就可以得出這兩個百分之幾對應(yīng)的量是一個 數(shù)比另一個數(shù)多的量或另一個數(shù)比一個數(shù)少的量，而這兩種說法是相同的，也就表示的是同一個量；而單位“ 1”一個是梨，一個是蘋果，所以這兩個百分之幾是不可能相等的。 原計劃每天完成的量”，就可以求出實際每天多修百分之幾。計算時可將百分 數(shù)化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)來計算。 方法 1： 16000 10％ + 16000 = 1600 + 16000 = 17600（元） 方法 2： 16000 （ 1 + 10％） = 16000 = 17600（元） 答：王叔叔買這輛摩托車一共要花 17600元錢。 果園里種了 60棵果樹，其中 36棵是蘋果樹。 二、解決實際問題 白兔有 25只，灰兔有 30 只。 掌握利息的計算方法，會正確地計算存款利息。 稅前應(yīng)得利息 = 本金 利率 時間 500 ％ 3 = （元） 答：到期后應(yīng)得利息 。已知原價的 85％是 1020元，要求原價是多少，可以列方程解答。 例 一臺液晶電視 6000元，若打七五折出售，可降價多少元？ 分析原因： 6000 元為原價，打七五折出售，要先算出實際售價再相減，或者先算出降價部分占原價的 25％。 ｘ （ 1 20％） = 40 ｘ 80％ = 40 ｘ = 50 50 20％ = 10（元） 答：這件商品原價 50元，虧了 10 元。這條牛仔褲原價多少元？ 算出折數(shù)。有一種款式的 MP3，原價 280元 ，現(xiàn)在打三折出售。根據(jù)求一個數(shù)的百分之幾是多少用乘法列方程求解，或者根據(jù)除法的意義，直接解答。 ｘ + 60％ｘ = 48 = 48 ｘ = 30 60％ｘ = 30 60％ = 18 答：甲繩長 30米，則乙繩長 18米。多 6 個 排球 排球的個數(shù)是籃球的 75％ 等量關(guān)系式：籃球 – 排球 = 6 個 解答：設(shè)籃球有ｘ個，則排球有 75％ｘ個。 正確解答：設(shè)男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。 ｘ 20％ｘ = 36 = 36 ｘ = 45 答：灰兔有 45只。 ｘ + 20％ｘ = 48 = 48 ｘ = 40 答：灰兔有 40只。盈利 25％，說明盈利的是原來成本的 25％，實際售價是原來成本的（ 1 + 25％）。 點評：在解答稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，要學(xué)會畫線段圖，它的好處是：使題目的條件變得簡潔，找數(shù)量關(guān)系式時更加容易、方便。 根據(jù)所給信息，說出數(shù)量間的相等關(guān)系 ①一條路，已修了全長的 60% ②一種彩電，現(xiàn)價比原價降低 10% ③松樹的棵數(shù)比柏樹多 13 看圖列式。（ 1+20%） ④ 200247?！被蛘呤÷圆粚憽? （ 3）根據(jù)等式的性質(zhì)可以解方程。 （ 4）比例的基本性質(zhì)。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù) 叫做比的后項。如：學(xué)校運來 200 棵樹苗，老師栽種 了 10%，剩下的按 5:4:3分配給甲、乙、丙三個班，丙班分得多少棵樹苗？ ② 已知一個量和比。 （ 6）按比例分配 在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。 （ 2）比例的性質(zhì) 在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi) 項 的積。 四、正比例和反比例 （ 1）成正比例的量 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成 正比例的量 （ “變化方向”相同） ， ，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 正方形的面積與邊長的平方成正比例，但與邊長不成比例 。 圓柱的體積一定，底面積和高成反比例。這些可以測定的客觀事物的特征叫做量。用來作為計量標(biāo)準(zhǔn)的量叫做計量單位。 圓柱的側(cè)面積一定，底面直徑與高成反比例。 圓的直徑與半徑成正比例。 用字母表示 x y = k(一定 ) 不同點： 正比例是同擴(kuò)同縮，比值一定；反比例是一擴(kuò)一縮，乘積一定 。 如：把等式 ax=by改寫成比例式后， a和 x必須同時為外項，或同時為內(nèi)項。 計算方法：先求出各部分的份數(shù)占總份數(shù)的幾分之幾，再求出總量的幾分之幾是 多少。 （ 4）求比值和化簡比 求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 比的前項除以后項所得的商，叫做比值 。 列方程解應(yīng)用題的步驟： （ 1）找出未知數(shù)并用 X表示。另一個因數(shù) 被除數(shù)＝商除數(shù) 除數(shù)＝被除數(shù)247。 二、等式與方程 ： 表示相等關(guān)系的式子叫做等式。既 簡單明了，又能表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律。 （ 2）一個數(shù)的 25%比它的 75%少 30，求這個數(shù)。 模擬試題 一、基本訓(xùn)練： 找出下列各題中的單位“ 1”，并在它的下面劃上 “ ”。 ｘ 25％ｘ = 18 = 18 ｘ = 24 24 （ 1 + 25％） = 30（元） 答：原來成本是 24元，應(yīng)按 30元出售該商品。 40 = 20％，符合題意。 45 = 20％，符合題意。 點評：解錯此題的原因是單位“ 1”的量找錯了，要記住找單位“ 1”的量時候，首先要去找分率（百分率），因為沒有分率就沒有單位“ 1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那個量就是單位“ 1”的量。 你會自己檢驗嗎？ 檢驗： 24 18 = 6（個），符合籃球比排球多 6個。 18 247。 靈活運用本單元所學(xué)知識，、解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實際問題，溝通分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題之間的聯(lián)系。 ) 一輛自行車 200元，在原價基礎(chǔ)上打八折，小明有貴賓卡，還可以再打九折，小明買這輛車花了多少錢？ 小紅在書店買了兩本打八折出售的書，共花了 12元，小紅買這兩本書便宜了多少錢。這兒有一家快餐店也在搞促銷，你能算出這些美食分別打幾折嗎？每人可任選一種計算一下。這個商店賣出這兩件商品總體上是盈利還是虧本？具體是多少？ 分析與解：盈利 20％，即售出價是成本價的（ 1 + 20％）；虧本 20％，即售出價是成本價的（ 1 20％）。 例 一批電冰箱，原來每臺售價 2021 元，現(xiàn)促銷打九折出售，有一顧客購買時，要求再打九折，如果能夠成交，售價是多少元？ 分析與解：“促銷打九折出售”就是按原價的百分之九十出售，用“原價 90％”，“再打九折”是在促銷價的基礎(chǔ)上打九折，要用促銷價乘 90％。 ｘ 85％ = 1020 ｘ = 1020 247。這本書是打幾折出售的？ 分析與解：打了幾折是求實際售價是原價的百分之幾，只要用實際售價除以原價。 使學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。實際比計劃多生產(chǎn)了百分之幾？ 小明家八月份用電 80千瓦時，小亮家比小明家節(jié)約 10千瓦時，小亮家比小明家八月份節(jié)約用電百分之幾？ X|k |B| 1 . c |O |m 某化肥廠 9月份實際生產(chǎn)化肥 5000噸，比計劃超產(chǎn) 500噸。 女生人數(shù)占全班的百分之幾 = （ ）247。按門票的 5％繳納營業(yè)稅 計算，“十一”黃金周期間應(yīng)繳納營業(yè)稅多少萬元？ 分析與解：營業(yè)稅是按門票的 5％繳納，是占門票收入的 5％，而不是占游客人數(shù)的 5％ 答：“十一”黃金周期間應(yīng)繳納營業(yè)稅 。 點評：在現(xiàn)實社會中，各種稅率是不一樣的。 101 = 25％ 答：實際每天比原計劃多修25％。降價百分之幾？ 分析與解：降低到 3000元，即現(xiàn)價為 3000元，說明降低了 2021元。 例 （難點突破） 一筐蘋果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐蘋果輕（ ）％ 分析與解：蘋果比梨重 20％，表示蘋果比梨重的部分占梨的 20％，把梨的質(zhì)量看作單位“ 1”； 而梨比蘋果輕 20％則表示梨比蘋果輕的部分占蘋果的 20％，把蘋果的質(zhì)量看作單位“ 1”，兩個單位“ 1”不同，切忌將兩個問題混為一談。計劃比實際少生產(chǎn)百分之幾？ 分析與解：要求“計劃比實際少生產(chǎn)百分之幾”，就是求計劃比實際少生產(chǎn)的輛數(shù)占實際產(chǎn)量的百分之幾，把實際產(chǎn)量看作單位“ 1”。另一個數(shù)。單位“ 1”的量＝多的分率 …… 注意： 甲數(shù)比乙數(shù)多的分率≠乙數(shù)比甲數(shù)少的分率 。（溶質(zhì) +溶劑） =（溶液 溶劑）247。 5．幾倍數(shù)＝一倍數(shù)倍數(shù)