【正文】 RS lR??? n ：圓心角 R ：扇形多對(duì)應(yīng)的 圓的半徑 l ：扇形弧長 S ：扇形面積 圓柱： （ 1）圓柱側(cè)面展開圖 2S S S??側(cè)表 底 = 222rh r??? （ 2）圓柱的體積： 2V r h?? （ 2）圓錐側(cè)面展開圖 （ 1） S S S??側(cè)表 底 = 2Rr r??? BAO1 O2CO2O1BAS lBAO母線長底面圓周長C 1D 1DCBAB1RrCBAO（ 2）圓錐的體積： 213V r h?? 典型例題 真題再現(xiàn)： 1． (2021年蘇州 ?第 18 題 3分 )如圖． AB 為 ⊙ O的直徑， AC 交 ⊙ O 于 E 點(diǎn)， BC 交 ⊙ O 于 D 點(diǎn)， CD=BD，∠ C=70176。 十、切線長定理 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 此定理也稱 1推 3定理，即上述四個(gè)結(jié) 論中， 只要知道其中的 1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論， 即：① AOB DO E? ? ? ；② AB DE? ； ③ OC OF? ；④ 弧 BA ? 弧 BD 七、圓周角定理 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。 推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （ 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??； （ 3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共 4個(gè)定理，簡稱 2推 3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它 3個(gè)結(jié)論，即： ① AB 是直徑 ② AB CD? ③ CE DE? ④ 弧 BC ? 弧 BD ⑤ 弧 AC ? 弧 AD 中任意 2個(gè)條件推出其他 3個(gè)結(jié)論。 即：在⊙ O 中，∵四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形 ∴ 180C BA D? ? ? ? ? 180BD? ?? ? ? DAE C? ?? 九、切線的性質(zhì)與判定定理 （ 1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵ MN OA? 且 MN 過半徑 OA 外端，∴ MN 是⊙ O 的切線 （ 2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割線，∴ PC PB PD PE? ? ? 十二、★補(bǔ)充：兩圓公共弦定理 CB AONM AOPBAO圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ． 5． （ 2021 年 蘇州 ?第 27 題 9 分） 如圖，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC． O 是 CD 邊的中點(diǎn)，以 O 為圓心， OC 長為半徑作圓，交 BC邊于點(diǎn) E．過 E 作 EH⊥ AB，垂足為 H．已 知 ⊙ O 與 AB 邊相切，切點(diǎn)為 F (1)求證： OE∥ AB； (2)求證： EH=12 AB； (3)若 14BHBE? ，求 BHCE 的值． 6． （ 2021 年蘇州第 16 題， 3 分）如圖，已知 AB 是 ⊙ O的一條直徑，延長 AB 至 C 點(diǎn)，使得 AC＝ 3BC，CD 與 ⊙ O 相切，切點(diǎn)為 D．若 CD＝ 3 ，則線段 BC 的長度等于 ． 7． （ 2021 年蘇州第 18題， 3 分）如圖，已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3 ， 3）， AB⊥ x 軸，垂足為 B，連接 OA，反比例函數(shù) ky x? （ k0）的圖象與線段 OA、 AB 分別交于點(diǎn) C、 D．若 AB＝ 3BD，以點(diǎn) C 為圓心， CA的 54 倍的長為半徑作圓，則該圓與 x 軸的位置關(guān)系是 （ 填“相離”、“相切”或“相交” ）． 8.（ 2021 年 蘇州市 ?第 26 題 8 分） 如圖，已知 AB 是 ⊙ O 的弦， OB＝ 2， ∠ B＝ 30176。 （ 3）若弧 DB 為半圓的三分之一，把 AOC? 繞著點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C 、 O 、 B 在一直線上時(shí)，如圖 2.①證明 : 1: 2FH BG ? 。AB 的中點(diǎn)， BE⊥ CD 垂足為 E． (1)求 ∠ BCE 的度數(shù)； (2)求證： D 為 CE 的中點(diǎn)； (3)連接 OE 交 BC 于點(diǎn) F，若 AB＝ 10 ，求 OE 的長度． 7． (2017年 吳中區(qū) ?26 題 10 分 ) 如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， BC 是 弦， 過點(diǎn) O 作 OE BC? 于 H 交 ⊙ O 于E ，在 OE 的延長線上取一點(diǎn) D ，使 OD B AEC? ? ? ， AE 與 BC 交于 F 。所以 ① 錯(cuò)． ∵∠ ABE=90176。． ∴∠ BDN=90176。 2﹣ =2﹣ ； 另解：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等更簡單！故選： C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△ BE 面積最小時(shí) AD 與 ⊙ C 的位置關(guān)系 是解答此題的關(guān)鍵． 4. 【考點(diǎn)】解直角三角形；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】由于 P 點(diǎn)在第一象限，由勾股定理即可求得 P 點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解答】解： ∵ OB=2， OA=2 ， ∴ AB= =4， ∵∠ AOP=45176。 ∴ BE=OB?cos∠ B=2179。 ∴∠ DAC=60176。 ∵⊙ O 的半徑為 3， ∴ 劣弧 的長為： π3=2π； （ 2）證明：連接 AC， ∵ AB=BE， ∴ 點(diǎn) B 為 AE 的中 點(diǎn)， ∵ F 是 EC 的中點(diǎn)， ∴ BF 為 △ EAC 的中位線， ∴ BF= AC， ∵ = ， ∴ + = + ， ∴ = ， ∴ BD=AC， ∴ BF= BD； （ 3）解：過點(diǎn) B 作 AE 的垂線，與 ⊙ O 的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn) P， ∵ BF 為 △ EAC 的中位線， ∴ BF∥ AC， ∴∠ FBE=∠ CAE， ∵ = ， ∴∠ CAB=∠ DBA， ∵ 由作法可知 BP⊥ AE， ∴∠ GBP=∠ FBP， ∵ G 為 BD 的中點(diǎn)， ∴ BG= BD， ∴ BG=BF，在 △ PBG 和 △ PBF 中， ， ∴△ PBG≌△ PBF（ SAS）， ∴ PG=PF． 11. （ 1）證明： ∵ AD 是 △ ABC 的角 平分線， ∴∠ BAD=∠ DAC， ∵∠ E=∠ BAD， ∴∠ E=∠ DAC， ∵ BE∥ AD， ∴∠ E=∠ EDA， ∴∠ EDA=∠ DAC， ∴ ED∥ AC； （ 2）解： ∵ BE∥ AD， ∴∠ EBD=∠ ADC， ∵∠ E=∠ DAC， ∴△△ EBD∽△ ADC，且相似比 k= ， ∴ =k2=4，即 s1=4s2， ∵ ﹣ 16S2+4=0， ∴ 16 ﹣ 16S2+4=0，即 =0， ∴ S2= ， ∵ = = = =3， ∴ S△ ABC= ． 12. 【解答】（ 1）證明：連接 AD， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=90176。 ∵ DE⊥ AB， ∴∠ DEO=90176。 ∵ 點(diǎn) B 在 ⊙ O 上， ∴ BE 是 ⊙ O 的切線； ②∵ 四邊形 ACBD 是圓的內(nèi)接 四邊形， ∴∠ ACB=∠ BDE，且 ∠ EBD=∠ CAB， ∴△ ACB∽△ BDE， ∴ = ，即 = ，解得 DE= ； （ 2）如圖 2，延長 DB、 AC 交于點(diǎn) H， ∵ AD 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ABD=∠ ABH=90176。 ∴ BE= =8， ∵ tan∠ CAB= ， ∴ sin∠ CAB= ， ∵ AC=AE+CE=10， ∴ CD=8， ∴ AD=6， ∵ OD=AD﹣ OA=1， ∴ OF=5， ∴ DF= =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 5． 【考點(diǎn)】切線的判定． 【分析】（ 1）首先連接 OE，由在 △ ABC 中， ∠ C=90176。 ∴ CE＝ BE， ∵ 四邊形 ACDB 是圓 O 的內(nèi)接四邊形， ∴∠ A+∠ BDC＝ 180176。 ∴ BE= = ， ∴ AE= = ， ∴ AF=AE﹣ EF= ﹣ = ， ∴ = ，解得： CF= ， ∴ BC=BF+CF= ， ∵ OE⊥ BC， ∴ BH=CH= BC= ． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)； 本題綜合性強(qiáng)，有一定難度． 8． 【考點(diǎn)】圓的綜合題． 【分析】（ 1）結(jié)論：相切．作 CM⊥ AB 于 M．，只要證明 CM=4，即可解決問題； （ 2）由 CF=4， CD=2， CA=8，推出 CF2=CD?CA，推出 = ，由 ∠ FCD=∠ ACF，即可推出 △ FCD∽△ ACF； （ 3）作 AE′⊥ AB 于 E′，交 ⊙ C 于 F′．由 △ FCD∽△ ACF，可得 = = ，推出 DF= AC，推出EF+ AF=EF+DF，所以欲求 EF+ AF 的最小值，就是要求 EF+DF 的最小值； 【解答】（ 1）解：結(jié)論：相切． 理由 ：作 CM⊥ AB 于 M．在 Rt△ ACM 中， ∵∠ AMC=90176。 .????????????????????? 6 分 （ 3）解： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵ OB=OD， ∴∠ ABC=∠ ODB， ∴∠ ODB=∠ C， ∴ OD∥ AC， ?????????????????? 7 分 ∴△ GOD∽△ GAF， ?????????? ???????????? 8 分 ∴ GAGOAFOD? ，∴設(shè)⊙ O 的半徑是 r，則 AB=AC=2r ∴ AF=2r2， ∴ rrrr 26622 ???? , ∴ r=3， 即 ⊙ O 的半徑是 3． ???????????? 10 分 10． 解： (1) 連接 CO． ∵ D 為 BC 的中點(diǎn) ， 且 OB=OC， ∴ OD⊥ BC． 10 分 。