全國優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)x(完整版)
【正文】 對稱軸、趨勢等圖象特征. （2）根據(jù)圖象的特征，描述出二次函數(shù)y3=2x2+4x的對應(yīng)性質(zhì). 圖象特征函數(shù)性質(zhì)y3=2x2+4x開口方向向下當(dāng)x=1時ymax=2. 最值頂點坐標(biāo)(1,2)對稱軸直線x=1*對任意m0，當(dāng)自變量x分別取1m和1+m時，對應(yīng)的函數(shù)值相等. 對稱性曲線趨勢在對稱軸左側(cè)圖象從左到右上升；在對稱軸右側(cè)圖象從左到右下降. 當(dāng)x≤1時y隨x增大而增大；當(dāng)x1時y隨x增大而減小. 增減性（3）從解析式的角度對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證. ①首先論證：當(dāng)x=1時ymax=2. 聯(lián)想y=ax2+c(a≠0)的情形：當(dāng)a0時頂點(0,c)是最高點，這是因為ax2≤0，從而y=ax2+c≤c，且當(dāng)x=0時函數(shù)有最大值c，所以(0,c)是圖象的最高點. 這是利用了x2的非負(fù)性，來確定函數(shù)的最值和取得最值的條件，同時確定圖象的最高或最低點. 類似的，若能夠?qū)⒔馕鍪統(tǒng)3=2x2+4x也變形成y=aM2+N的形式，其中M是含x的式子、N是常數(shù)，那么就可以通過M2的非負(fù)性求出函數(shù)取得最大或最小值的條件，確定圖象的最高或最低點. 這個過程與解一元二次方程時使用的配方法比較類似，不妨也試著對函數(shù)解析式的二次項、一次項進(jìn)行配方：y3=2x2+4x=2(x22x)=2(x22x+1)+2=2(x1)2+2，由于(x1)2≥0，所以y3=2(x1)2+2≤2，且當(dāng)x=1時，函數(shù)有最大值2. ②其次來看這個函數(shù)的增減性. （說理）由配方得到y(tǒng)3=2(x1)2+2，所以(x1)2越大，y3的值越小. 因此，當(dāng)x≤1時，x越小函數(shù)值越小，即y隨x的增大而增大；當(dāng)x1時，x越大函數(shù)值越小，即y隨x的增大而減小. ③最后來分析二次函數(shù)y3=2x2+4x的對稱性. 學(xué)生描述對稱性時可能會遇到困難，需要有教師的幾步引導(dǎo)并配合課件演示：(A)找?guī)捉M具體的對稱點；（先從圖象上具體的點入手，你能從圖象上找出一組對稱點嗎？）(B)總結(jié)這些點的坐標(biāo)特點. （為什么說它們關(guān)于直線x=1對稱？它們的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別有什么關(guān)系？）(C)推廣到一般情形，可以怎么描述？（這樣的對稱點可以怎么找出來？）當(dāng)自變量分別取xM、xN時，設(shè)對應(yīng)的函數(shù)值分別為yM、yN. 〖預(yù)案1〗從橫坐標(biāo)入手：可以從(1,0)點向左右等距離地取兩個點，把它們的橫坐標(biāo)作為自變量，來判斷圖象上對應(yīng)點的縱坐標(biāo)是否相等. 對于任意實數(shù)m0：取xM=1m，則yM=2(1m)2+4(1m)=2m2+2；取xN=1+m，則yN=2(1+m)2+4(1+m)=2m2+2. （若將橫坐標(biāo)代入配方后的解析式，計算更簡便. ）所以yM=yN，即點(1m,yM)、(1+m,yN)關(guān)于直線x=1對稱，所以二次函數(shù)y3=2x2+4x圖象的對稱軸是直線x=1. 〖預(yù)案2〗從縱坐標(biāo)入手：由于函數(shù)的最大值是2，可以在直線y=2下方畫一條平行于x軸的直線，這條直線與拋物線有兩個交點，求出交點的橫坐標(biāo)，判斷它們到直線x=1的距離是否相等. 比如：當(dāng)y=，求出x1=，x2=，它們到直線x=，是關(guān)于直線x=1對稱的. 令y=n，則：2x2+4x=n，用配方法解：2(x1)2=n2，(x1)2=，所以，當(dāng)n≤2時，關(guān)于直線x=1對稱. 〖預(yù)案3〗從圖象上任意點入手，證明其對稱點也在拋物線上. 設(shè)M(m,n)是拋物線上任意一點，則n=2m2+4m，作點M關(guān)于直線x=1的對稱點N，則N(2m,n). 當(dāng)x=2m時，y=2(2m)2+4(2m)=2m2+4m=n，所以N也在拋物線上，因此圖象的對稱軸是直線x=1. 小結(jié)：從上面的研究中會發(fā)現(xiàn)，在二次函數(shù)的主要性質(zhì)中，對稱軸、頂點坐標(biāo)、最值三者是相互關(guān)聯(lián)的，只要確定了其中之一，就能夠很快地說出函數(shù)的其它性質(zhì). 而對稱軸和頂點是從函數(shù)的圖象上得到的，最值則可以通過對解析式配方變形求出來. 所以，在研究形如y=ax2+bx的二次函數(shù)時，無論是先知道了圖象，還是先知道解析式，都可以推導(dǎo)出函數(shù)的性質(zhì).對稱軸頂點坐標(biāo)最值函 數(shù) 圖 象函 數(shù) 解 析 式【設(shè)計說明】這個環(huán)節(jié)從二次函數(shù)y3=2x2+4x的圖象特征入手，通過函數(shù)性質(zhì)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，來尋求解析式與圖象特征之間的聯(lián)系，并從中找到通過解析式來求解二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)的一般方法. 3. 推廣遷移問題2：某同學(xué)算出橋拱的解析式是y4=2x2+4x2. 你知道他是怎么建立坐標(biāo)系的嗎？分析：要知道這名同學(xué)建立坐標(biāo)系的方法，就是要知道他把原點定在什么位置，反過來看，也就是需要找出拋物線y4的頂點坐標(biāo). 〖預(yù)案1〗在坐標(biāo)系中描點、繪制拋物線y4=2x2+4x2. x…21012…y…188202…從圖象中觀察出，對稱軸是直線x=1，所以頂點A的坐標(biāo)為(1,0). 〖預(yù)案2〗對解析式進(jìn)行配方：y4=2x2+4x2=2(x22x+1)=2(x1)2.
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