【正文】 差平方和 ， SA表示 Aj水平下的樣本均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，叫做 效應(yīng)平方和， 他是由水平 Aj的效應(yīng)的差異以及隨機(jī)誤差引起的。 ? 解：經(jīng)計(jì)算 ? 由 (ns)= (12)=，得 ? 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平為 信區(qū)間分別為 .,?,?,00 ..2?????????????????????xxxxxxxxxxsnSE????????5)11()( 4 ???????kjE nnSsnt ? 例 6 設(shè)在第二個例子中，四類電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)分布，切割總體的方差相同，但參數(shù)未知，并且個樣本相互獨(dú)立。 1. 預(yù)測問題：在給定的置信度下，估計(jì)出當(dāng) x取某一定值時，隨機(jī)變量 y的取值情況； 2. 控制問題：在給定的置信度下，控制自變量 x的取值范圍，使 y在給定的范圍內(nèi)取值； 回歸分析的任務(wù) ? 主要是根據(jù)試驗(yàn)，估計(jì)回歸函數(shù)，討論點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等問題。 ? 一元線性回歸模型： 設(shè) Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知參數(shù)，記 ε = Y（ a+bx），則 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 稱上式為一元線性回歸模型。 ? 也可以把經(jīng)驗(yàn)回歸方程寫為 ? 若記 xbax ??)(? ??? xbay ??? ?? )(?? xxbyy ?????????????????????????? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??nininiiiiiniiixyniniiiniiyyniniiiniixxyxnyxyyxxSynyyySxnxxxS1 1 111 122121 12212))((1))(()(1)()(1)( ? 這時， a,b的估計(jì)值是 ? 在例 1中，測得溫度對產(chǎn)品得率的關(guān)系是 ? 為了求回歸方程，我們需要計(jì)算 ??????????????bxnynaSSbniiniixxxy?)1(1??11溫度 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 和 Σ x Y x 2 y 2 xy 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 10 000 12 100 14 400 16 900 19 600 22 500 25 600 28 900 32 400 36 100 2 025 2 601 2 916 3 721 4 356 4 900 5 476 6 084 7 225 7 921 4 500 5 610 6 480 7 930 9 240 10 500 11 840 12 260 15 300 16 910 1 450 673 218 500 47 225 101570 ? 于是得回歸直線方程為 ???????????????????????????????73 101673101?48 ?,3985673145010110 157 08250145010121 850 02aSSbSSxxxyxyxx于是得xy ???根據(jù)上表可以計(jì)算 三、 σ2的估計(jì) ? 根據(jù) Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 即 ε = Y ( a + bx)； 得到 E{[Y –( a+bx)]2 }= E(ε2)=D(ε2)+[E(ε)]2= σ2, ? 這說明： 1. σ2愈小，用回歸函數(shù) μ(x)=ax+b作為 Y的近似所導(dǎo)致的均方誤差就愈??；用 μ(x)=ax+b研究 Y就愈有效； 2. 因?yàn)?σ2是未知的，這就要利用樣本來估計(jì) σ2 。 ? 可以證明 ? 且可以計(jì)算 及 ? 在 H0為真時， b=0,這時 ? 且有 ，即得 H0的拒絕域是 ),(~?2xxSbNb ? )2(~?)2( 2222??? nQn e ???? )2(~)2/(?)2(/?222?????ntnnSbbxx??? )2(~?|?||| ?? ntSbtxx? )2(?|?|||2/ ??? ntSbtxx ??0)?( ?? bbE ? 幾點(diǎn)說明： 1. 在 H0： b=0被拒絕時 ,認(rèn)為回歸效果是顯著的；反之則認(rèn)為回歸效果是不顯著的； 2. 回歸效果不顯著的原因可能是： 1) 影響 Y取值的，除 x和隨機(jī)誤差外，可能還有其他因素； 2) E(Y)與 x的關(guān)系可能不是線性的； 3) Y與 x可能不存在關(guān)系； ? 例 4（續(xù)例 2）檢驗(yàn)回歸效果是否顯著。 ? Y0是在 x=x0處的觀測結(jié)果，他滿足 Y0= a+bx0 + ε0, ε0 ~N(0, σ2 ) 我們利用在 x0處的經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)值 作為 Y0= a+bx0 + ε0的點(diǎn)預(yù)測。 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 125 (?) 150 ( ? ) 130 ( ? ) 155 ( ? ) 135 ( ? ) 160 ( ? ) 140 ( ? ) 165 ( ? ) 145 ( ? ) 。 000 ??)(?? xbaxy ??? ? ? 由于 Y0是要做的獨(dú)立試驗(yàn)的結(jié)果，所以他與已經(jīng)得到的結(jié)果 Y1， Y2， … Yn，相互獨(dú)立。 48 ||,?|?|||0:)8()2(,8250,48 ?02/2?????????????tSbtbHtntSbxxxx而的拒絕域是得假設(shè)查表得?? ? （五） 系數(shù) b的置信區(qū)間 ? 在回歸效果顯著時，還要對系數(shù) b做區(qū)間估計(jì)。 我們來計(jì)算 Qe 為殘差平方和稱處的殘差為，稱設(shè)：? ?? ???????????niniiiiieiiiixxixbayyyQxyyxbayyi1 122 )??()?(。 二、 a、 b的估計(jì) ? 取 x的 n個完全不相同的值 x1,x2,…,xn，作獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…,(xn ,Yn )，于是 ? Y= a+bxi + εi , εi ~N(0, σ2 )；各 εi獨(dú)立 （ 2） ? Yi ~N(a+bxi, σ2 )， Y1,Y2,…,Y n的聯(lián)合概率密度為 ? 利用最大似然估計(jì)法來估計(jì)未知參數(shù) a、 b。相應(yīng)的樣本值是： (x