第3章-32-321-322常數(shù)與冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)公式表(完整版)
【正文】 三角形的面積為 18 ，求 a 的值． 【 思 路 探 究 】 先求切線方程 → 求切線的橫縱截距→ 利用面積公式列方程求 a 【自主解答】 y ′ ＝－12x －32( x 0 ) ，故在點(diǎn) ( a ， a －12) 處的切線的斜率 k ＝－12a －32， 所以切線方程為 y － a －12＝－12a －32( x － a ) ， 易得切線在 x 軸、 y 軸上的截距分別為 3 a ，32a －12， 所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S ＝12 3 a 32a －12＝94a12＝ 1 8 . ∴ a ＝ 6 4 . 切線方程、截距、面積的計(jì)算是對導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)算的綜合運(yùn)用，看清切點(diǎn)位置的同時構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵． 已知函數(shù) f ( x ) 在 R 上滿足 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x 2 ＋ 8 x － 8 ，求曲線 y＝ f ( x ) 在點(diǎn) (2 ， f ( 2 ) ) 處的切線方程． 【解】 由 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，令 x ＝ 2 － x ，得 f ( 2 －x ) ＝ 2 f ( x ) － (2 － x )2＋ 8 ( 2 － x ) － 8 ， 即 2 f ( x ) － f (2 － x ) ＝ x2＋ 4 x － 4 ， 聯(lián)立 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，得 f ( x ) ＝ x2， ∴ f ′ ( x ) ＝ 2 x ， f ′ ( 2 ) ＝ 4 ，即所求切線斜率為 4 ， ∴ 切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ， 即 4 x － y － 4 ＝ 0 . 因求導(dǎo)公式不熟而出錯 給出下列結(jié)論： ① ( c o s x ) ′ ＝ si n x ； ②????????si n π4′ ＝ c o s π4； ③ 若 y ＝1x2 ，則 y ′ ＝－1x； ④????????－1x′ ＝12 x x. 其中正確的有 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【錯解】 通過導(dǎo)數(shù)的基本公式與計(jì)算，只有 ①④ 正確． 【答案】 ①④ 【錯因分析】 對于教材中出現(xiàn)的八個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要在解題過程中應(yīng)用自如，必須做到以下兩點(diǎn)：一是理解，如s i n π4＝22是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定為零，就不會出現(xiàn)????????si n π4′＝ c o s π4這樣的錯誤結(jié)果；二是準(zhǔn)確記憶． 【防范措施】 此類問題出錯的主要原因是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶有誤，關(guān)鍵是不能熟練掌握和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式，故需加強(qiáng)記憶，求導(dǎo)問題先要
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